II. Nos exercícios seguintes, calcule as integrais de superfície integralS F cdot d S para os campos vetoriais F e as superfícies orientadas S indicadas.
F(x, y, z)=(2 y,-y, 3) e S é o pedaço do plano x+2 y+z=0 contido no interior da esfera x^2+y^2+z^2=9, orientado pela normal apontando para cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS Fcdot d S, onde F(x,y,z)=(2y,-y,3) e S é a parte do plano x+2y+z=0 dentro da esfera x^2+y^2+z^2=9, com orientação pela normal apontando para cima. Vamos usar a projeção de S no plano xy e a fórmula de superfície de gráfico.

Passo 2

Como S é dado pelo gráfico de z=f(x,y)= -x-2y, podemos parametrizar pela projeção (x,y)in D, onde D é o domínio no plano xy. A normal não-unitária apontando para cima é n =(-fx,-fy,1)=(1,2,1) e d S= n,dA. Substituindo na integral, temos
Fl(x,y,-x-2yr)=(2y,-y,3), logo
Fcdot d S= Fcdot n,dA=(2y)cdot1+(-y)cdot2+3cdot1,dA=3,dA Portanto
integral duplaS Fcdot d S=integral duplaD3,dA=3,Área(D)Á

Passo 3

O domínio D satisfaz
x^2+y^2+(-x-2y)^2<=9 iff 2x^2+4xy+5y^2<=9, ou seja (x,y):[x;y]2&22&5[xy]<=9. A área dessa elipse é
Área(D)=9piraizdet2&22&5 = 9piraiz6Á Logo a integral vale
3cdot9piraiz6=27piraiz6=9raiz6,pi2

Resposta

9raiz6,pi2

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