Estude as convergências das séries:
sumn=1^+infty raizn2 n^3-n+5

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty raizn2n^3-n+5
Este é um problema de séries numéricas positivas; vamos usar o critério da comparação-limite com uma p-série.

Passo 2

Denote
an=raizn2n^3-n+5
Para ntoinfty, o denominador satisfaz
2n^3-n+5sim 2n^3,
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ansim raizn2n^3=12,n^5/2

Passo 3

Definimos a série de comparação
bn=1n^5/2
Sabemos que sum bn é uma p-série com p=5/2>1, logo ela converge. Agora calculamos o limite
L=limntoinftyanbn =limntoinftyraizn/(2n^3-n+5)1/n^5/2 =limntoinftyn^32n^3-n+5 =tfrac12>0
Como 0<L<+infty, pelo critério da comparação-limite sum an converge se e somente se sum bn converge. Portanto sum an converge.

Passo 4

Todos os termos an são não-negativos, então a convergência obtida é também absoluta.

Resposta

A série sumn=1^inftyraizn2n^3-n+5 converge absolutamente.

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