Observação 2.9.2 Seja n in N e f(x)=raiz[n]x. Então:
se n for ímpar, então f é contínua em R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se ninN é ímpar e definimos
f(x)=raiz[n]x,
então f é contínua em todo R.
Conteúdo necessário: continuidade de polinômios, monotonicidade e bijetividade de funções estritamente crescentes, e o fato de que a inversa de função contínua e estritamente monotônica é contínua.

Passo 2

Considere a função polinomial
g(x)=x^n
Como todo polinômio é contínuo em R, concluímos que g é contínua em R.

Passo 3

Para n ímpar, sempre que x1<x2 temos
x1^n < x2^n
porque elevar ao expoente ímpar preserva a ordem. Logo g é estritamente crescente e, portanto, bijetiva de R em R.

Passo 4

Como gcolonRtoR é contínua e estritamente crescente, ela possui inversa contínua g^-1colonRtoR. Mas por definição de raiz ímpar,
g^-1(x)=raiz[n]x=f(x)

Passo 5

Pelo teorema que afirma que a inversa de função contínua e estritamente monotônica é contínua em todo o seu domínio, segue que
f(x)=g^-1(x)
é contínua em R.

Resposta

A função f(x)=raiz[n]x é contínua em todo R quando n é ímpar.

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