Observação 2.9.2 Seja
. Então:
se
for ímpar, então
é contínua em
.
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é ímpar e definimos
então
é contínua em todo
.
Conteúdo necessário: continuidade de polinômios, monotonicidade e bijetividade de funções estritamente crescentes, e o fato de que a inversa de função contínua e estritamente monotônica é contínua.
Conteúdo necessário: continuidade de polinômios, monotonicidade e bijetividade de funções estritamente crescentes, e o fato de que a inversa de função contínua e estritamente monotônica é contínua.
Passo 2
Considere a função polinomial
Como todo polinômio é contínuo em
, concluímos que
é contínua em
.
Passo 3
Para
ímpar, sempre que
temos
porque elevar ao expoente ímpar preserva a ordem. Logo
é estritamente crescente e, portanto, bijetiva de
em
.
Passo 4
Como
é contínua e estritamente crescente, ela possui inversa contínua
. Mas por definição de raiz ímpar,
Passo 5
Pelo teorema que afirma que a inversa de função contínua e estritamente monotônica é contínua em todo o seu domínio, segue que
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo
quando
é ímpar.