Estude as convergências das séries:
sumn=1^+infty sen(1n)(1n)

Passo 1

O enunciado pede estudar a convergência da série
sumn=1^+inftysinl(tfrac1nr)tfrac1n,
O conteúdo que vamos usar é o teste do termo geral (que exige limntoinftyan=0 para que haja convergência) e a expansão em série de Taylor de sin x em torno de x=0.

Passo 2

Para x pequeno vale a expansão
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Tomando x=tfrac1n obtemos
sinl(tfrac1nr) = tfrac1n - 16n^3 + Ol(tfrac1n^5r),
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an = sin(tfrac1n)tfrac1n = n,sinl(tfrac1nr) = 1 - 16n^2 + Ol(tfrac1n^4r)

Passo 3

Como
limntoinftyan = 1 neq 0,
o termo geral não tende a zero. Pelo teste da divergência (ou do termo geral), a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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