Exemplo 2.9.11 Determine todos os números nos quais afunção f(x)=c2 x-3 , se x <= 1 x^2 , se x>1 é contínua.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= 2x-3, & se x<=1, x^2, & se x>1
O conteúdo é continuidade de função definida por partes. Sabemos que:
  1. polinômios são contínuos em todo R,
  2. logo cada ramo ( 2x-3 e x^2) é contínuo em seu intervalo,
  3. o único ponto que pode apresentar descontinuidade é onde muda a definição, isto é, em x=1. Para esse ponto, precisamos verificar se
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)

Passo 2

Como 2x-3 e x^2 são polinômios, eles são contínuos em todo R. Portanto f é contínua em
(-infty,1)e(1,infty)

Passo 3

Vamos checar x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^-(2x-3)=2cdot1-3=-1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+(x^2)=1^2=1,
e
f(1)=2cdot1-3=-1
Como
limxto1^-f(x)=-1neq1=limxto1^+f(x), não existe limxto1f(x). Logo f é descontínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua para todo xneq1, isto é, em (-infty,1)cup(1,infty).

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