Estude a courergencia on divergencia das séries abaixo: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}}.
O conteúdo principal aqui é o teste de Leibniz (para séries alternadas) e a verificação de convergência absoluta usando p-séries.
Passo 2
Aplicamos o teste de Leibniz. Nesse teste, para a série alternada \displaystyle \sum (-1)^n a_n
devemos checar que:
a_n>0 para todo n.
a_n é monótona decrescente.
\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Aqui temos
a_n = \frac{1}{\sqrt[4]{n}} = n^{-1/4},
que é positivo e, como a função f(x)=x^{-1/4} é decrescente para x>0, a sequência a_n também é decrescente. Além disso,
\lim_{n\to\infty}n^{-1/4}=0.
Logo, por Leibniz, a série converge.
Passo 3
Verificamos agora a convergência absoluta. Consideramos \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \bigl|(-1)^n n^{-1/4}\bigr| = \sum_{n=1}^\infty n^{-1/4}.
Trata-se de uma p-série com p=1/4. Como p\le1, essa p-série diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Resposta
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}} converge condicionalmente (convergência alternada) e não converge absolutamente.