Estude a courergencia on divergencia das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}}.
O conteúdo principal aqui é o teste de Leibniz (para séries alternadas) e a verificação de convergência absoluta usando p-séries.

Passo 2

Aplicamos o teste de Leibniz. Nesse teste, para a série alternada
\displaystyle \sum (-1)^n a_n
devemos checar que:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. a_n é monótona decrescente.
  3. \lim_{n\to\infty}a_n=0.
    Aqui temos
a_n = \frac{1}{\sqrt[4]{n}} = n^{-1/4},
que é positivo e, como a função f(x)=x^{-1/4} é decrescente para x>0, a sequência a_n também é decrescente. Além disso,
\lim_{n\to\infty}n^{-1/4}=0.
Logo, por Leibniz, a série converge.

Passo 3

Verificamos agora a convergência absoluta. Consideramos
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \bigl|(-1)^n n^{-1/4}\bigr| = \sum_{n=1}^\infty n^{-1/4}.
Trata-se de uma p-série com p=1/4. Como p\le1, essa p-série diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}} converge condicionalmente (convergência alternada) e não converge absolutamente.

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