Estude a courergencia on divergencia das séries abaixo:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}}.
O conteúdo aqui é análise de séries numéricas e vamos usar o teste da série p (ou teste da série de Riemann), que diz que
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série. Chamando
a_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2},
temos
a_n = \frac{n^{1/2}}{n^2} = n^{1/2 - 2} = n^{-3/2}.

Passo 3

Agora reconhecemos que
\sum_{n=2}^{\infty} a_n = \sum_{n=2}^{\infty} n^{-3/2}
é uma série da forma \sum n^{-p} com p = \tfrac{3}{2}. Como \tfrac{3}{2} > 1, pelo teste da série p concluímos que ela converge.

Passo 4

Além disso, por ser uma série de termos positivos e convergir pelo teste p, ela converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}} converge (absolutamente), pois é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1.

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