Estude a courergencia on divergencia das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}-2}

Passo 1

O enunciado pede estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}-2}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da comparação-limite, comparando com a série geométrica de termo geral 1/5^n.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{1}{5^{n}-2}, \quad b_{n} = \frac{1}{5^{n}}.
Sabemos que a série \sum b_{n}=\sum 1/5^{n} é geométrica com razão 1/5<1, logo converge.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação-limite calculando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{5^{n}-2}}{\frac{1}{5^{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{5^{n}}{5^{n}-2} =1.
Como esse limite é finito e não nulo, a_{n} e b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Já que \sum b_{n} converge e \lim_{n\to\infty}(a_{n}/b_{n})=1, concluímos pelo teste da comparação-limite que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}-2}
também converge.

Resposta

A série converge.

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