Estude o crescimento da função
dada por
. Conclua que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar o crescimento da função
e concluir que
para todo
. Vamos usar derivada e monotonicidade.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
. Usando a regra do produto em
e a derivada de
:
Logo,
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
:
- Para
, implica , ou seja, é crescente em . - Para
, implica , ou seja, é decrescente em .
Isso mostra que
é ponto de mínimo global de
.
Passo 4
Só resta avaliar
:
Como
atinge seu valor mínimo
em
e é maior do que
para todo
, temos
quando
.
Passo 5
Da definição de
,
equivale a
ou seja,
para todo
.