Estude o crescimento da função f: R R dada por f(x)=2 x arctan x-ln (1+x^2). Conclua que 2 x arctan x>ln (1+x^2) para todo x neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o crescimento da função
f(x)=2xarctan x-lnl(1+x^2r)
e concluir que
2xarctan x>lnl(1+x^2r)
para todo xneq0. Vamos usar derivada e monotonicidade.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f. Usando a regra do produto em 2xarctan x e a derivada de ln(1+x^2):
ddx[2xarctan x]=2arctan x+2xcdot11+x^2,
ddxl[ln(1+x^2)r]=2x1+x^2
Logo,
f'(x)=2arctan x+2x1+x^2-2x1+x^2=2arctan x

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f'(x)=2arctan x:
  • Para x>0, arctan x>0 implica f'(x)>0, ou seja, f é crescente em (0,infty).
  • Para x<0, arctan x<0 implica f'(x)<0, ou seja, f é decrescente em ( -infty,0).
Isso mostra que x=0 é ponto de mínimo global de f.

Passo 4

Só resta avaliar f(0):
f(0)=2cdot0cdotarctan0-ln(1+0^2)=0-0=0
Como f atinge seu valor mínimo 0 em x=0 e é maior do que 0 para todo xneq0, temos f(x)>0 quando xneq0.

Passo 5

Da definição de f, f(x)>0 equivale a
2xarctan x-lnl(1+x^2r)>0
ou seja,
2xarctan x>lnl(1+x^2r)
para todo xneq0.

Resposta

2xarctan x>lnl(1+x^2r) para todo xneq0.

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