Considere as sequências \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\}, tais que a_{n} \rightarrow 2 quando n \rightarrow+\infty e b_{n}=(-1)^{n}. Determine quais das seguintes sequên-
cias convergem e quais divergem. Se uma sequência converge, indique seu limite.
\left\{b_{n}^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado define a sequência \{b_n\} por b_n = (-1)^n e pede para estudar a convergência da sequência \{b_n^2\}. Vamos usar a propriedade de potências para simplificar o termo geral e depois aplicar a definição de sequência convergente.

Passo 2

Calculamos o termo geral de \{b_n^2\}. Temos
b_n^2 = \bigl((-1)^n\bigr)^2 = (-1)^{2n} = \bigl((-1)^2\bigr)^n = 1^n = 1.
Como b_n^2 = 1 para todo n, a sequência é constante.

Resposta

A sequência \{b_n^2\} converge e seu limite é
\lim_{n\to\infty} b_n^2 = 1.

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