Estude os domínios de regularidade das seguintes curvas:
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede para estudar os domínios de regularidade. Vou listar claramente o que é pedido e os dados disponíveis:
- O que se pede: determinar o domínio onde a curva está bem definida (domínio da parametrização) e o conjunto de valores de
onde a curva é regular (ou seja, onde ). - Informações dadas pelo enunciado: as três componentes da curva são
, e . Note que aparece , que pode causar pontos onde a função não está definida.
Passo 2
Determinar o domínio da parametrização (onde todas as componentes estão definidas).
- A componente
está definida para todo . - A componente
exige que esteja definida, isto é, .
Portanto devemos excluir ostais que , ou seja - Conclusão: o domínio de definição (domínio da parametrização) é
Observação útil (não essencial, mas facilita contas): podemos escrever a segunda coordenada como
o que torna explícito o problema quando
.
Passo 3
Lembrando a definição de regularidade e como calcular derivadas:
- Uma curva
é regular em se existe e . - A derivada
é obtida diferenciando componente a componente. Vou calcular explicitamente nas coordenadas (usando regra do produto / quociente quando necessário).
Calcule a derivada da primeira componente
.
- Derivada de
é . - Logo
- Observação: podemos escrever
porque , mas manterei para consistência com as outras expressões.
Passo 4
Calcule a derivada da segunda componente. Tomarei a forma
e aplico a regra do quociente.
- Seja
e .
Entãoe . - Pela regra do quociente,
- Simplificando o numerador:
- Portanto
- Podemos reescrever
, obtendo a forma alternativa
A terceira componente
tem derivada
.
Assim a derivada vetor é
Passo 5
Analisar quando
(pontos singulares) dentro do domínio
.
- Para que
é necessário e suficiente que ambas as primeiras duas componentes sejam zero (a terceira já é sempre zero). - Primeiro componente:
.
Como estamos emtemos , portanto necessariamente .
Logo os candidatos são - Verificar a segunda componente nesses pontos: se
então a expressão tem numerador nulo (contém ), portanto para (e o denominador é ali, não há indeterminação). - Conclusão: para todo
com (que pertencem ao domínio ), tem-se . Não há outros zeros simultâneos de ambas as componentes dentro de , porque para precisamos de (já considerado) — não está em .
Passo 6
Concluir os domínios de regularidade:
- O domínio de definição é
- Os pontos do domínio onde a curva NÃO é regular (pontos singulares) são
com . - Portanto o conjunto onde a curva é regular (domínio de regularidade) é
(a última igualdade vem porque as duas famílias e juntas formam os múltiplos de .)
Resposta
Domínio de definição:
Domínio de regularidade: