Estude os domínios de regularidade das seguintes curvas:
\alpha(t)=\left(2 \operatorname{sen}^{2} t, 2 \operatorname{sen}^{2} t \operatorname{tg} t, 0\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\bigl(2\sin^{2}t,\;2\sin^{2}t\;\tan t,\;0\bigr)
e pede para estudar os domínios de regularidade. Vou listar claramente o que é pedido e os dados disponíveis:
  • O que se pede: determinar o domínio onde a curva está bem definida (domínio da parametrização) e o conjunto de valores de t onde a curva é regular (ou seja, onde \alpha'(t)\neq(0,0,0)).
  • Informações dadas pelo enunciado: as três componentes da curva são x(t)=2\sin^{2}t, y(t)=2\sin^{2}t\tan t e z(t)=0. Note que aparece \tan t, que pode causar pontos onde a função não está definida.

Passo 2

Determinar o domínio da parametrização (onde todas as componentes estão definidas).
  • A componente x(t)=2\sin^{2}t está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • A componente y(t)=2\sin^{2}t\tan t exige que \tan t esteja definida, isto é, \cos t\neq 0.
    Portanto devemos excluir os t tais que \cos t=0, ou seja t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Conclusão: o domínio de definição (domínio da parametrização) é D=\mathbb{R}\setminus\bigl\{\,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\,\bigr\}.
Observação útil (não essencial, mas facilita contas): podemos escrever a segunda coordenada como
y(t)=2\sin^{2}t\tan t=\frac{2\sin^{3}t}{\cos t},
o que torna explícito o problema quando \cos t=0.

Passo 3

Lembrando a definição de regularidade e como calcular derivadas:
  • Uma curva \alpha(t) é regular em t se \alpha'(t) existe e \alpha'(t)\neq(0,0,0).
  • A derivada \alpha'(t) é obtida diferenciando componente a componente. Vou calcular \alpha'(t) explicitamente nas coordenadas (usando regra do produto / quociente quando necessário).
Calcule a derivada da primeira componente x(t)=2\sin^{2}t.
  • Derivada de \sin^{2}t é 2\sin t\cos t.
  • Logo x'(t)=2\cdot 2\sin t\cos t=4\sin t\cos t.
  • Observação: podemos escrever x'(t)=2\sin 2t porque \sin 2t=2\sin t\cos t, mas manterei 4\sin t\cos t para consistência com as outras expressões.

Passo 4

Calcule a derivada da segunda componente. Tomarei a forma \;y(t)=\dfrac{2\sin^{3}t}{\cos t} e aplico a regra do quociente.
  • Seja u(t)=2\sin^{3}t e v(t)=\cos t.
    Então u'(t)=2\cdot 3\sin^{2}t\cos t=6\sin^{2}t\cos t e v'(t)=-\sin t.
  • Pela regra do quociente, y'(t)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{6\sin^{2}t\cos t\cdot\cos t - 2\sin^{3}t\cdot(-\sin t)}{\cos^{2}t}.
  • Simplificando o numerador: 6\sin^{2}t\cos^{2}t + 2\sin^{4}t =2\sin^{2}t\bigl(3\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr).
  • Portanto y'(t)=\frac{2\sin^{2}t\bigl(3\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)}{\cos^{2}t}.
  • Podemos reescrever 3\cos^{2}t+\sin^{2}t=1+2\cos^{2}t, obtendo a forma alternativa y'(t)=\frac{2\sin^{2}t\bigl(1+2\cos^{2}t\bigr)}{\cos^{2}t}.
A terceira componente z(t)=0 tem derivada z'(t)=0.
Assim a derivada vetor é
\alpha'(t)=\Bigl(4\sin t\cos t,\;\frac{2\sin^{2}t\bigl(1+2\cos^{2}t\bigr)}{\cos^{2}t},\;0\Bigr), \quad t\in D.

Passo 5

Analisar quando \alpha'(t)=(0,0,0) (pontos singulares) dentro do domínio D.
  • Para que \alpha'(t)=(0,0,0) é necessário e suficiente que ambas as primeiras duas componentes sejam zero (a terceira já é sempre zero).
  • Primeiro componente: 4\sin t\cos t=0.
    Como estamos em D temos \cos t\neq 0, portanto necessariamente \sin t=0.
    Logo os candidatos são t=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Verificar a segunda componente nesses pontos: se \sin t=0 então a expressão y'(t)=\frac{2\sin^{2}t\bigl(1+2\cos^{2}t\bigr)}{\cos^{2}t}tem numerador nulo (contém \sin^{2}t), portanto y'(t)=0 para t=k\pi (e o denominador \cos^{2}t é 1 ali, não há indeterminação).
  • Conclusão: para todo t=k\pi com k\in\mathbb{Z} (que pertencem ao domínio D), tem-se \alpha'(t)=(0,0,0). Não há outros zeros simultâneos de ambas as componentes dentro de D, porque para x'(t)=0 precisamos de \sin t=0 (já considerado) — \cos t=0 não está em D.

Passo 6

Concluir os domínios de regularidade:
  • O domínio de definição é D=\mathbb{R}\setminus\bigl\{\,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\,\bigr\}.
  • Os pontos do domínio onde a curva NÃO é regular (pontos singulares) são t=k\pi com k\in\mathbb{Z}.
  • Portanto o conjunto onde a curva é regular (domínio de regularidade) é D_{\text{reg}}=D\setminus\{\,k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\,\} =\mathbb{R}\setminus\bigl\{\,k\frac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\,\bigr\}.(a última igualdade vem porque as duas famílias \{k\pi\} e \{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\} juntas formam os múltiplos de \tfrac{\pi}{2}.)

Resposta

Domínio de definição: \displaystyle \mathbb{R}\setminus\bigl\{\,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\,\bigr\}
Domínio de regularidade: \displaystyle \mathbb{R}\setminus\bigl\{\,k\tfrac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\,\bigr\}

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