Considere a aplicação
dada por
. É um difeomorfismo?
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
A pergunta é:
é um difeomorfismo? Ou seja, devemos verificar se
é bijetora e se tanto
quanto sua inversa são diferenciáveis (aqui, de preferência
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio:
. - Imagem alvo:
. - Fórmula explícita:
.
Passo 2
Primeiro vamos estudar a diferenciabilidade de
e o sinal da sua derivada. Lembrando a regra de derivação:
- Se
é diferenciável, , porque .
Aplicando isso a(que tem derivada ), obtemos
Explicando:
e também
, portanto
é sempre estritamente positiva. Logo para todo
temos
Conclusão desta etapa:
é
em
e sua derivada é positiva em todo o domínio.
Passo 3
A derivada estritamente positiva tem consequências úteis: uma função diferenciável com derivada positiva em todo o domínio é estritamente crescente. Assim
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente é injetora (dois pontos distintos não podem ter a mesma imagem). Portanto
é injetora.
Além disso, por ser contínua e estritamente crescente em um intervalo aberto, a imagem
é um intervalo aberto na reta. Para determinar exatamente qual intervalo é esse, vamos calcular os limites nos extremos do domínio.
Passo 4
Calcular os limites laterais nos extremos do domínio:
- Quando
, o argumento da tangente tende a , isto é,
Como
quando
, segue que
- Quando
, o argumento tende a , e quando . Logo
Como
é contínua e estritamente crescente e os limites nas bordas cobrem
, concluímos que a imagem é todo
. Portanto
é sobrejetora.
Com injetividade e sobrejetividade,
é bijetora de
para
.
Passo 5
Como
é bijetora, podemos escrever explicitamente sua inversa resolvendo
para
. Aplicando
obtemos
Portanto a inversa é
Agora verificamos a suavidade da inversa:
é
em
e sua derivada é
. Multiplicando por
mantém a suavidade, logo
é
em
. Além disso, a derivada da inversa é
consistente com o fato de
ser estritamente crescente.
Passo 6
Recapitulando:
é
em
, bijetora para
, e sua inversa
é
em
. Esses fatos mostram exatamente que
é um difeomorfismo entre os conjuntos abertos
e
.
Força aí — você já tem a resposta e a expressão da inversa para usar na prova!
Resposta
Sim. É um difeomorfismo de classe
;
.