Considere a aplicação \varphi:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R} dada por \varphi(t)=\operatorname{tg} \frac{t \pi}{2}. É um difeomorfismo?

Passo 1

O enunciado dá a aplicação \varphi:(-1,1)\to\mathbb{R} definida por
\varphi(t)=\tan\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).
A pergunta é: \varphi é um difeomorfismo? Ou seja, devemos verificar se \varphi é bijetora e se tanto \varphi quanto sua inversa são diferenciáveis (aqui, de preferência C^\infty).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: (-1,1).
  • Imagem alvo: \mathbb{R}.
  • Fórmula explícita: \varphi(t)=\tan\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right).

Passo 2

Primeiro vamos estudar a diferenciabilidade de \varphi e o sinal da sua derivada. Lembrando a regra de derivação:
  • Se u(t) é diferenciável, \dfrac{d}{dt}\tan(u(t))=u'(t)\operatorname{sec}^2(u(t)), porque \dfrac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^2 u.
    Aplicando isso a u(t)=\dfrac{\pi t}{2} (que tem derivada u'(t)=\dfrac{\pi}{2}), obtemos
\varphi'(t)=\frac{\pi}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).
Explicando: \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} e também \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x, portanto \operatorname{sec}^2 é sempre estritamente positiva. Logo para todo t\in(-1,1) temos
\varphi'(t)>0.
Conclusão desta etapa: \varphi é C^\infty em (-1,1) e sua derivada é positiva em todo o domínio.

Passo 3

A derivada estritamente positiva tem consequências úteis: uma função diferenciável com derivada positiva em todo o domínio é estritamente crescente. Assim \varphi é estritamente crescente em (-1,1). Uma função estritamente crescente é injetora (dois pontos distintos não podem ter a mesma imagem). Portanto \varphi é injetora.
Além disso, por ser contínua e estritamente crescente em um intervalo aberto, a imagem \varphi((-1,1)) é um intervalo aberto na reta. Para determinar exatamente qual intervalo é esse, vamos calcular os limites nos extremos do domínio.

Passo 4

Calcular os limites laterais nos extremos do domínio:
  • Quando t\to 1^-, o argumento da tangente tende a \dfrac{\pi}{2}^-, isto é,
\frac{\pi t}{2}\to\frac{\pi}{2}^-.
Como \tan x \to +\infty quando x\to\frac{\pi}{2}^-, segue que
\lim_{t\to 1^-}\varphi(t)=\lim_{t\to 1^-}\tan\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)=+\infty.
  • Quando t\to -1^+, o argumento tende a -\dfrac{\pi}{2}^+, e \tan x\to -\infty quando x\to -\dfrac{\pi}{2}^+. Logo
\lim_{t\to -1^+}\varphi(t)=-\infty.
Como \varphi é contínua e estritamente crescente e os limites nas bordas cobrem (-\infty,+\infty), concluímos que a imagem é todo \mathbb{R}. Portanto \varphi é sobrejetora.
Com injetividade e sobrejetividade, \varphi é bijetora de (-1,1) para \mathbb{R}.

Passo 5

Como \varphi é bijetora, podemos escrever explicitamente sua inversa resolvendo y=\tan\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right) para t. Aplicando \arctan obtemos
\arctan y = \frac{\pi t}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{2}{\pi}\arctan y.
Portanto a inversa é
\varphi^{-1}:\mathbb{R}\to(-1,1),\qquad \varphi^{-1}(y)=\frac{2}{\pi}\arctan y.
Agora verificamos a suavidade da inversa: \arctan y é C^\infty em \mathbb{R} e sua derivada é \dfrac{1}{1+y^2}. Multiplicando por \dfrac{2}{\pi} mantém a suavidade, logo \varphi^{-1} é C^\infty em \mathbb{R}. Além disso, a derivada da inversa é
(\varphi^{-1})'(y)=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{1+y^2}>0,
consistente com o fato de \varphi ser estritamente crescente.

Passo 6

Recapitulando: \varphi é C^\infty em (-1,1), bijetora para \mathbb{R}, e sua inversa \varphi^{-1}(y)=\dfrac{2}{\pi}\arctan y é C^\infty em \mathbb{R}. Esses fatos mostram exatamente que \varphi é um difeomorfismo entre os conjuntos abertos (-1,1) e \mathbb{R}.
Força aí — você já tem a resposta e a expressão da inversa para usar na prova!

Resposta

Sim. É um difeomorfismo de classe C^\infty; \displaystyle \varphi^{-1}(y)=\frac{2}{\pi}\arctan y.

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