Estude os extremos relativos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu estude os extremos relativos da função
.
Perguntas implícitas que vou responder: onde estão os pontos críticos (ou seja, onde o gradiente se anula) e qual é a classificação desses pontos (mínimo local, máximo local ou ponto de sela / nenhum extremo).
Informações dadas: a expressão de para quaisquer
.
Perguntas implícitas que vou responder: onde estão os pontos críticos (ou seja, onde o gradiente se anula) e qual é a classificação desses pontos (mínimo local, máximo local ou ponto de sela / nenhum extremo).
Informações dadas: a expressão de
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que é um ponto crítico: é um ponto onde o gradiente de
é o vetor nulo. O gradiente é o conjunto das derivadas parciais. Vou calcular as derivadas parciais de
explicando passo a passo.
A função é
.
A derivada parcial em relação a trata
como constante. Usamos a regra do poder e a linearidade:
A derivada parcial em relação a
Factorando
:
Repare que
. Logo
De forma análoga, a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante) dá
Portanto o gradiente é
Passo 3
Agora determino os pontos críticos resolvendo
. Isso equivale a
Como
, temos
Conclusão: todos os pontos com
são pontos críticos. Ou seja, a reta
é o conjunto de pontos críticos.
Passo 4
Para tentar classificar os pontos críticos normalmente usaríamos a matriz Hessiana (segunda derivadas). Vou calcular as segundas derivadas e montar a Hessiana, e depois comentar sobre a aplicabilidade do teste.
Das derivadas parciais anteriores:
Logo a matriz Hessiana é
No ponto crítico temos
, então
nesse ponto é a matriz nula (todas as entradas zero). O teste quadrático (autovalores da Hessiana / determinante etc.) dá inconclusivo quando a Hessiana é nula: não podemos decidir a partir daí se há mínimo, máximo ou sela. Portanto preciso de uma análise mais refinada (usar termos de ordem superior ou examinar direções).]
Passo 5
Uma observação muito útil e simples: a própria função pode ser reescrita de forma compacta. Repare que
Isso fica claro ao reconhecer o binômio de Newton:
. Essa reescrita facilita muito a análise:
depende apenas da soma
. Então, para estudar extremos relativos, basta estudar a função univariada
em
(porque os pontos críticos têm
).
Passo 6
Vou analisar o comportamento de
em
. Em uma variável:
, então
;
, então
. O primeiro e segundo derivadas nulas indicam que o teste de segunda ordem falha — igual ao que vimos com a Hessiana. Olhando a terceira derivada,
, que é não nula em
. Isso significa que
é um ponto de inflexão da função
: em torno de
a função toma sinais positivos e negativos conforme
muda de signo (não há nem máximo nem mínimo local).
Transpondo isso para a função original: em qualquer ponto crítico
(ou seja,
), a variável relevante é
. Vou mostrar concretamente que em qualquer vizinhança de
existem pontos com
e pontos com
, o que descarta mínimo e máximo locais.
Considere duas direções simples a partir de
:
- Direção ao longo do vetor
: tomar pontos . A soma é
portanto
Para
pequeno,
; para
pequeno,
. Ou seja, arbitrariamente perto de
há pontos com valores positivos e negativos de
.
- Direção ao longo do vetor
: tomar pontos . A soma é
portanto
para todo
. Ou seja, ao longo dessa direção a função permanece igual a zero.
O fato de existir uma direção em que
aumenta (torna-se positiva) e outra em que
diminui (torna-se negativa) arbitrariamente perto do ponto mostra que não existe nem mínimo nem máximo local. Isso caracteriza um ponto de sela (mais precisamente: uma família de pontos de sela/inflectivos ao longo da reta
).
Passo 7
Resumo didático e intuitivo: a função só depende de
e é
. O ponto crítico corresponde a
, onde a função univariada tem um ponto de inflexão (não um extremo). No plano, isso aparece como a reta
de pontos críticos, e em qualquer ponto dessa reta é possível encontrar vizinhos com valores de
maiores e menores, portanto nenhum desses pontos é extremo relativo. Em linguagem comum: a reta
é uma linha de pontos de sela / inflexão.
Resposta
Todos os pontos críticos são os
tais que
.
Nenhum desses pontos é mínimo local nem máximo local; são pontos de sela (pontos de inflexão) ao longo da reta .
Nenhum desses pontos é mínimo local nem máximo local; são pontos de sela (pontos de inflexão) ao longo da reta