Estude os extremos relativos das seguintes funções:
f(x, y)=x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu estude os extremos relativos da função
f(x,y)=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}.
Perguntas implícitas que vou responder: onde estão os pontos críticos (ou seja, onde o gradiente se anula) e qual é a classificação desses pontos (mínimo local, máximo local ou ponto de sela / nenhum extremo).
Informações dadas: a expressão de f para quaisquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é um ponto crítico: é um ponto onde o gradiente de f é o vetor nulo. O gradiente é o conjunto das derivadas parciais. Vou calcular as derivadas parciais de f explicando passo a passo.
A função é f(x,y)=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}.
A derivada parcial em relação a x trata y como constante. Usamos a regra do poder e a linearidade:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+6xy+3y^{2}.
Factorando 3:
\frac{\partial f}{\partial x}=3\bigl(x^{2}+2xy+y^{2}\bigr).
Repare que x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=3(x+y)^{2}.
De forma análoga, a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante) dá
\frac{\partial f}{\partial y}=3(x+y)^{2}.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(3(x+y)^{2},\;3(x+y)^{2}\bigr).

Passo 3

Agora determino os pontos críticos resolvendo \nabla f(x,y)= (0,0). Isso equivale a
3(x+y)^{2}=0.
Como 3\neq 0, temos
(x+y)^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x+y=0.
Conclusão: todos os pontos com x+y=0 são pontos críticos. Ou seja, a reta
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x+y=0\}
é o conjunto de pontos críticos.

Passo 4

Para tentar classificar os pontos críticos normalmente usaríamos a matriz Hessiana (segunda derivadas). Vou calcular as segundas derivadas e montar a Hessiana, e depois comentar sobre a aplicabilidade do teste.
Das derivadas parciais anteriores:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6(x+y),\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=6(x+y),\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=6(x+y).
Logo a matriz Hessiana é
Hf(x,y)=6(x+y)\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
No ponto crítico temos x+y=0, então Hf nesse ponto é a matriz nula (todas as entradas zero). O teste quadrático (autovalores da Hessiana / determinante etc.) dá inconclusivo quando a Hessiana é nula: não podemos decidir a partir daí se há mínimo, máximo ou sela. Portanto preciso de uma análise mais refinada (usar termos de ordem superior ou examinar direções).]

Passo 5

Uma observação muito útil e simples: a própria função pode ser reescrita de forma compacta. Repare que
f(x,y)=(x+y)^{3}.
Isso fica claro ao reconhecer o binômio de Newton: (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}. Essa reescrita facilita muito a análise: f depende apenas da soma u=x+y. Então, para estudar extremos relativos, basta estudar a função univariada g(u)=u^{3} em u=0 (porque os pontos críticos têm u=0).

Passo 6

Vou analisar o comportamento de g(u)=u^{3} em u=0. Em uma variável: g'(u)=3u^{2}, então g'(0)=0; g''(u)=6u, então g''(0)=0. O primeiro e segundo derivadas nulas indicam que o teste de segunda ordem falha — igual ao que vimos com a Hessiana. Olhando a terceira derivada, g^{(3)}(u)=6, que é não nula em u=0. Isso significa que u=0 é um ponto de inflexão da função u^{3}: em torno de 0 a função toma sinais positivos e negativos conforme u muda de signo (não há nem máximo nem mínimo local).
Transpondo isso para a função original: em qualquer ponto crítico p=(a,-a) (ou seja, x+y=0), a variável relevante é u=x+y. Vou mostrar concretamente que em qualquer vizinhança de p existem pontos com f>0 e pontos com f<0, o que descarta mínimo e máximo locais.
Considere duas direções simples a partir de p=(a,-a):
  1. Direção ao longo do vetor (1,1): tomar pontos p+t(1,1)=(a+t,-a+t). A soma é
x+y=(a+t)+(-a+t)=2t,
portanto
f(a+t,-a+t)=(2t)^{3}=8t^{3}.
Para t>0 pequeno, f>0; para t<0 pequeno, f<0. Ou seja, arbitrariamente perto de p há pontos com valores positivos e negativos de f.
  1. Direção ao longo do vetor (1,-1): tomar pontos p+t(1,-1)=(a+t,-a-t). A soma é
x+y=(a+t)+(-a-t)=0,
portanto
f(a+t,-a-t)=0
para todo t. Ou seja, ao longo dessa direção a função permanece igual a zero.
O fato de existir uma direção em que f aumenta (torna-se positiva) e outra em que f diminui (torna-se negativa) arbitrariamente perto do ponto mostra que não existe nem mínimo nem máximo local. Isso caracteriza um ponto de sela (mais precisamente: uma família de pontos de sela/inflectivos ao longo da reta x+y=0).

Passo 7

Resumo didático e intuitivo: a função só depende de u=x+y e é u^{3}. O ponto crítico corresponde a u=0, onde a função univariada tem um ponto de inflexão (não um extremo). No plano, isso aparece como a reta x+y=0 de pontos críticos, e em qualquer ponto dessa reta é possível encontrar vizinhos com valores de f maiores e menores, portanto nenhum desses pontos é extremo relativo. Em linguagem comum: a reta x+y=0 é uma linha de pontos de sela / inflexão.

Resposta

Todos os pontos críticos são os (x,y) tais que x+y=0.
Nenhum desses pontos é mínimo local nem máximo local; são pontos de sela (pontos de inflexão) ao longo da reta x+y=0.

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