Estude os extremos relativos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre e classifique os extremos relativos da função
Informações relevantes dadas:
- A função está definida em todo
. - Preciso encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e dizer se cada ponto é mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela, além de calcular o valor de
nesses pontos (útil para comparar extremos). - Não há restrição adicional no enunciado (domínio é todo
).
Passo 2
Vou começar calculando as derivadas parciais primeiro para montar o gradiente. Lembre que o gradiente de
é o vetor das derivadas parciais, e pontos críticos são onde esse vetor é o vetor nulo.
Derivadas parciais:
Explicação didática: para derivar
em relação a
uso a regra do poder: a derivada de
é
. Então
. A derivada de
é
. Mesma ideia para a variável
.
Passo 3
Agora resolvo o sistema
, isto é,
Fatorando cada equação:
Portanto as soluções são:
Como as equações separam
e
, os pontos críticos são todas as combinações cartesianas dessas soluções. Logo há
pontos críticos:
Passo 4
Calculo o valor de
em cada tipo de ponto (isso ajuda a comparar e a identificar mínimos globais, se houver).
- Em
:
- Em
: aqui , , . Então
- Em
: aqui , . Então
- Em
: combinando os dois, , , , . Logo
Resumo dos valores:
Passo 5
Para classificar cada ponto crítico uso o teste das derivadas segundas em duas variáveis. Preciso das segundas derivadas:
Explicação didática do teste: defino o discriminante (determinante da Hessiana) em um ponto
como
Regras do teste:
- Se
e então é mínimo relativo. - Se
e então é máximo relativo. - Se
é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 6
Aplico essas fórmulas em cada tipo de ponto crítico (como
, temos
).
- Em
:
Como
e
, o ponto
é um máximo relativo. (Intuição: para
muito pequenos a parte
domina deixando a função menor, então
é um pico local.)
- Em
:
Como
, esses pontos são pontos de sela.
- Em
:
Novamente
, então esses pontos também são pontos de sela.
- Em
:
Aqui
e
, logo esses quatro pontos são mínimos relativos.
Passo 7
Discussão sobre mínimos globais: a função tem termos principais
(de grau 4, sempre positivos ou zero) que dominam para
, portanto
quando
. Assim
é coerciva e atinge um mínimo global em algum ponto crítico. Dos valores calculados no Passo 4, o menor valor é
obtido em
. Portanto esses mínimos relativos são, na verdade, mínimos globais da função.
Um comentário encorajador: conseguimos listar todos os críticos, aplicar o teste das derivadas segundas e comparar valores; é um procedimento padrão e direto — respira fundo, você consegue fazer esse tipo no prova também!
Resposta
Máximo relativo:
com
.
Pontos de sela:
com
e
com
.
Mínimos relativos (e globais):
(quatro pontos) com
.