Estude os extremos relativos das seguintes funções:
f(x, y)=5-9 x^{2}-y^{2}-6 x y+12 x+4 y-4

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos relativos da função
f(x,y)=5-9x^{2}-y^{2}-6xy+12x+4y-4.
Perguntas que o exercício faz (o que precisamos responder):
  • Quais são os pontos críticos (ou o conjunto de pontos críticos) de f?
  • Como classificar cada ponto crítico: mínimo relativo, máximo relativo, sela ou indecidível?
  • Qual é o valor de f nesses pontos críticos?
Informações dadas:
f(x,y)=5-9x^{2}-y^{2}-6xy+12x+4y-4.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem para encontrar os pontos críticos. Lembre que a derivada parcial de f em relação a x, denotada por \partial f/\partial x, é a derivada considerando y fixo; e análoga para \partial f/\partial y. Derivamos termo a termo:
A função pode ser simplificada primeiro somando constantes:
f(x,y)=1-9x^{2}-y^{2}-6xy+12x+4y,
pois 5-4=1.
Agora derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=-18x-6y+12,
\frac{\partial f}{\partial y}=-2y-6x+4.
Expliquei passo a passo: \partial(-9x^2)/\partial x = -18x; \partial(-6xy)/\partial x = -6y; \partial(12x)/\partial x = 12. Para \partial/\partial y fazemos o mesmo: \partial(-y^2)/\partial y=-2y; \partial(-6xy)/\partial y=-6x; \partial(4y)/\partial y=4.

Passo 3

Pontos críticos ocorrem quando o gradiente é zero, isto é, quando as duas derivadas parciais são zero simultaneamente:
-18x-6y+12=0,
-2y-6x+4=0.
Podemos simplificar as equações dividindo a primeira por -6 e a segunda por -2:
3x+y-2=0,
3x+y-2=0.
As duas equações são idênticas, portanto não temos um ponto isolado, mas sim um conjunto infinito de pontos. O conjunto de pontos críticos é a reta definida por
3x+y-2=0 \quad\text{ou}\quad y=2-3x.

Passo 4

Vamos tentar usar a segunda derivada (matriz Hessiana) para classificar, mas primeiro calcule-a. A Hessiana H é a matriz das segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-18,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-2,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-6.
Portanto
H=\begin{pmatrix}-18 & -6\\\\ -6 & -2\end{pmatrix}.
Para aplicar o teste das segundas derivadas em \mathbb{R}^2 costumamos verificar o determinante
\det(H)=(-18)(-2)-(-6)^2=36-36=0.
Como \det(H)=0, a teste clássico com determinante é inconclusivo — trata-se de um caso degenerado (pelo menos uma autovalor nulo). Então precisamos de outra abordagem para classificar os pontos.

Passo 5

Quando o teste das segundas derivadas falha, uma boa estratégia para funções quadráticas (como esta) é completar quadrados ou tentar reescrever f de forma explícita que mostre claramente variações. Vamos reescrever f para evidenciar variações:
Começamos com a forma já simplificada
f(x,y)=1-9x^{2}-y^{2}-6xy+12x+4y.
Observe a expressão
(3x+y-2)^2 = 9x^{2}+6xy+y^{2}-12x-4y+4.
Multiplicando por -1 obtemos
-(3x+y-2)^2 = -9x^{2}-6xy-y^{2}+12x+4y-4.
Compare com f(x,y). Temos
f(x,y)=1-9x^{2}-y^{2}-6xy+12x+4y = 1 + \big(-9x^{2}-6xy-y^{2}+12x+4y-4\big).
Portanto
f(x,y)=1 - \big(3x+y-2\big)^{2} -4.
Somando 1-4=-3 não está ajustado — melhor reorganizar diretamente:
calcule f(x,y)-5:
f(x,y)-5 = \big(1-9x^{2}-y^{2}-6xy+12x+4y\big)-5 = -9x^{2}-y^{2}-6xy+12x+4y-4.
E esse lado direito é exatamente
- (3x+y-2)^2,
pois expandindo -(3x+y-2)^2 obtemos exatamente os mesmos termos. Logo
f(x,y)-5 = - (3x+y-2)^2,
ou seja
f(x,y)=5 - \big(3x+y-2\big)^{2}.

Passo 6

A expressão final \displaystyle f(x,y)=5-(3x+y-2)^{2} é muito clara para determinar extremos:
  • O termo \big(3x+y-2\big)^{2} é sempre maior ou igual a 0.
  • Assim f(x,y) \le 5 para todos (x,y), com igualdade se, e somente se, \big(3x+y-2\big)^{2}=0, ou seja quando 3x+y-2=0, isto é exatamente a reta de pontos críticos y=2-3x.
Portanto, em cada ponto da reta 3x+y-2=0 a função atinge o valor máximo 5. Como f nunca ultrapassa 5, esses pontos são máximos relativos; na verdade são máximos globais (o supremo é 5 e é alcançado em toda a reta).
Não existem mínimos relativos porque a função pode ficar arbitrariamente abaixo de 5? Na verdade o termo subtrai um quadrado, logo o valor mínimo não existe (ou tende a -\infty se (3x+y-2) crescer sem limite) — vamos ver: (3x+y-2)^2 pode crescer sem limite quando (x,y) vai ao infinito, então f tende a -\infty. Logo não há mínimos (nem mínimo global finito).

Passo 7

Resumo e verificação rápida (exemplo):
  • Se pegarmos um ponto da reta, por exemplo x=0, então y=2 e
f(0,2)=5-(3\cdot0+2-2)^2=5-0=5.
  • Se pegarmos um ponto fora da reta, por exemplo (0,0),
f(0,0)=5-(3\cdot0+0-2)^2=5-(-2)^2=5-4=1<5,
confirmando que ao se afastar da reta o valor diminui.

Resposta

Pontos críticos: todos os pontos da reta 3x+y-2=0, ou seja \{(x,y)\mid y=2-3x\}.\nClassificação: cada ponto dessa reta é um máximo relativo (na verdade máximo global) com valor f(x,y)=5.\nNão existem mínimos relativos.

Exercícios relacionados