Encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é zero ou não existe).
Classificar cada ponto crítico: máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Quando possível, dizer se o extremo é também extremo global.
As informações dadas são apenas a expressão da função \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y}).
Passo 2
Vou encontrar os pontos críticos calculando as derivadas parciais primeiras e igualando a zero.
Breve lembrança didática: a derivada parcial \partial f/\partial x mede a taxa de variação de f quando x varia e y fica fixo; análoga para \partial f/\partial y. O gradiente é o vetor \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y). Pontos críticos são soluções de \nabla f=(0,0).
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2y-2x,
\frac{\partial f}{\partial y}=2x-2y.
Passo 3
Agora resolvo o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Da primeira equação \,2y-2x=0\Rightarrow y=x.
Da segunda \,2x-2y=0\Rightarrow x=y. As duas dão a mesma condição.
Logo, os pontos críticos formam a reta
\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Ou seja, todo ponto com x=y é crítico.
Passo 4
Para classificar pontos críticos em duas variáveis costuma-se usar as segundas derivadas e a matriz Hessiana.
Breve aula: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
Isso é ótimo porque fica muito claro como f se comporta: (x-y)^{2} é sempre \ge 0.
Passo 6
Da expressão \mathrm{f}(x,y)=1-(x-y)^{2} segue imediatamente:
(x-y)^{2}\ge 0 para todos x,y, logo \mathrm{f}(x,y)\le 1 sempre.
A igualdade \mathrm{f}(x,y)=1 ocorre exatamente quando (x-y)^{2}=0, isto é, quando x=y.
Portanto, o valor máximo possível de f é 1, e ele é atingido em toda a reta x=y.
Passo 7
Classificação dos pontos críticos com base na observação anterior:
Para qualquer ponto (t,t) temos \mathrm{f}(t,t)=1. Em qualquer vizinhança de (t,t) os valores de f nunca excedem 1 (porque f\le1 globalmente) e existem pontos na vizinhança com valores menores (por exemplo, pontos com x\neq y próximos). Logo cada (t,t) é um máximo relativo (não isolado) e, na verdade, um máximo global com valor 1.
Não existem mínimos relativos: a função pode assumir valores arbitrariamente negativos porque (x-y)^{2} pode crescer sem limite; portanto não há menor valor — logo não há mínimo global nem mínimo local.
Não existem pontos de sela entre os pontos críticos, porque os únicos pontos críticos já foram identificados (a reta x=y) e esses são máximos. Pontos fora da reta x=y não são críticos (gradiente ≠ 0) e, portanto, não entram na classificação de extremos relativos.
Passo 8
Para fixar a intuição, exemplo de variação ao redor de um ponto (t,t): tome pequenos deslocamentos na direção perpendicular à reta x=y, por exemplo (t+\varepsilon,t-\varepsilon). Então