Estude os extremos relativos das seguintes funções:
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=1+2 x y-x{2}-y{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu estude os extremos relativos da função
\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=1+2xy-x^{2}-y^{2}.
Isso significa que preciso:
  • Encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é zero ou não existe).
  • Classificar cada ponto crítico: máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
  • Quando possível, dizer se o extremo é também extremo global.
As informações dadas são apenas a expressão da função \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y}).

Passo 2

Vou encontrar os pontos críticos calculando as derivadas parciais primeiras e igualando a zero.
Breve lembrança didática: a derivada parcial \partial f/\partial x mede a taxa de variação de f quando x varia e y fica fixo; análoga para \partial f/\partial y. O gradiente é o vetor \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y). Pontos críticos são soluções de \nabla f=(0,0).
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2y-2x,
\frac{\partial f}{\partial y}=2x-2y.

Passo 3

Agora resolvo o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Da primeira equação \,2y-2x=0\Rightarrow y=x.
Da segunda \,2x-2y=0\Rightarrow x=y. As duas dão a mesma condição.
Logo, os pontos críticos formam a reta
\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Ou seja, todo ponto com x=y é crítico.

Passo 4

Para classificar pontos críticos em duas variáveis costuma-se usar as segundas derivadas e a matriz Hessiana.
Breve aula: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
H(f)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
No caso bidimensional, definimos D=\det H(f). O teste padrão é:
  • Se D>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo e precisamos de outro argumento.
Calculo as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=2.
Portanto a Hessiana é
H(f)=\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}.
O determinante é
D = (-2)(-2)-2^{2}=4-4=0.
Como D=0, o teste é inconclusivo — não dá para decidir apenas com a Hessiana. Preciso usar outro argumento.]

Passo 5

Uma forma simples e poderosa aqui é manipular algebricamente \mathrm{f} para ver sua forma.
Faço a fatoração/completar quadrado:
\mathrm{f}(x,y)=1+2xy-x^{2}-y^{2} =1-(x^{2}-2xy+y^{2}) =1-(x-y)^{2}.
Isso é ótimo porque fica muito claro como f se comporta: (x-y)^{2} é sempre \ge 0.

Passo 6

Da expressão \mathrm{f}(x,y)=1-(x-y)^{2} segue imediatamente:
  • (x-y)^{2}\ge 0 para todos x,y, logo \mathrm{f}(x,y)\le 1 sempre.
  • A igualdade \mathrm{f}(x,y)=1 ocorre exatamente quando (x-y)^{2}=0, isto é, quando x=y.
Portanto, o valor máximo possível de f é 1, e ele é atingido em toda a reta x=y.

Passo 7

Classificação dos pontos críticos com base na observação anterior:
  • Para qualquer ponto (t,t) temos \mathrm{f}(t,t)=1. Em qualquer vizinhança de (t,t) os valores de f nunca excedem 1 (porque f\le1 globalmente) e existem pontos na vizinhança com valores menores (por exemplo, pontos com x\neq y próximos). Logo cada (t,t) é um máximo relativo (não isolado) e, na verdade, um máximo global com valor 1.
  • Não existem mínimos relativos: a função pode assumir valores arbitrariamente negativos porque (x-y)^{2} pode crescer sem limite; portanto não há menor valor — logo não há mínimo global nem mínimo local.
  • Não existem pontos de sela entre os pontos críticos, porque os únicos pontos críticos já foram identificados (a reta x=y) e esses são máximos. Pontos fora da reta x=y não são críticos (gradiente ≠ 0) e, portanto, não entram na classificação de extremos relativos.

Passo 8

Para fixar a intuição, exemplo de variação ao redor de um ponto (t,t): tome pequenos deslocamentos na direção perpendicular à reta x=y, por exemplo (t+\varepsilon,t-\varepsilon). Então
\mathrm{f}(t+\varepsilon,t-\varepsilon)=1-( (t+\varepsilon)-(t-\varepsilon))^{2}=1-(2\varepsilon)^{2}=1-4\varepsilon^{2}<1
para \varepsilon\neq0. Isso mostra que qualquer pequena perturbação transversal diminui o valor de f, confirmando que (t,t) é um máximo (não isolado).

Resposta

Máximos relativos (e globais): \displaystyle (t,t),\\ t\in\mathbb{R}, com \mathrm{f}(t,t)=1.
Não há mínimos relativos nem pontos de sela.

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