Estude a função abaixo quanto a continuidade:
Passo 1
Então, o enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, que é definida de forma diferente dependendo se $ y $ é zero ou não. O objetivo aqui é estudar a continuidade dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em duas variáveis e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto se o limite dela, quando $ (x, y) $ se aproxima desse ponto, for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, não deve haver “saltos” ou “quebras” na função.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x, y) $ para $ y \neq 0 $. Nesse caso, a função é dada por $ f(x, y) = x y^{2} \cdot \sin\left(\frac{1}{y}\right) $. Tanto $ x $, $ y^{2} $ quanto $ \sin\left(\frac{1}{y}\right) $ são funções contínuas quando $ y \neq 0 $. Portanto, para todos os pontos onde $ y \neq 0 $, a função $ f $ é contínua.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade da função no caso quando $ y = 0 $. Nesse caso, a função é definida como $ f(x, 0) = 0 $. Para garantir que a função seja contínua em $ y = 0 $, precisamos confirmar que o limite de $ f(x, y) $ quando $ y $ tende a 0 é igual a 0.
Passo 5
Vamos calcular o limite:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{y}\right) $ está sempre entre -1 e 1, então:
À medida que $ y $ se aproxima de 0, $ y^{2} $ também se aproxima de 0, o que faz com que todo o termo tende a 0. Assim:
Como o limite é igual ao valor da função em $ y = 0 $, a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x, y) $ é contínua em todos os pontos do seu domínio.