Resolva a equação diferencial.
d^2 yd x^2-2 d yd x+y=x cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 - 2,dydx + y ;=; xcos x
O conteúdo é: solução geral y=yh+yp, onde yh vem da parte homogênea e yp de um palpite (coeficientes a determinar) para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 -2r +1 =0Longrightarrow (r-1)^2=0Longrightarrow r=1 (dupla)
Logo
yh = C1 e^x + C2,x e^x

Passo 3

Para encontrar yp usamos o método dos coeficientes a determinar. O termo não homogêneo é xcos x, ou seja, polinômio de grau 1 vezes cos x. O palpite geral é
yp = (A x + B)cos x + (C x + D)sin x,
com constantes A,B,C,D a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp. Seja
U(x)=A x+B, V(x)=C x+D,
então
yp = Ucos x + Vsin x,
yp' = (U'cos x - Usin x) + (V'sin x + Vcos x) = Pcos x + Qsin x,
em que
P = A + V = A + C x + D, Q = V' - U = C - (A x + B)
E
yp'' = P'cos x - Psin x + Q'sin x + Qcos x = (P'+Q)cos x + (Q'-P)sin x

Passo 5

Substituímos em y''-2y'+y e igualamos a xcos x. O cálculo leva a
L[yp] = [-2C;x + (2C - 2A - 2D)]cos x + [2A;x +(-2A -2C +2B)]sin x = xcos x
Igualando coeficientes de xcos x,;xsin x,;cos x,;sin x obtemos o sistema
-2C = 1, 2A=0, 2C-2A-2D=0, -2A-2C+2B=0
Daí
C=-tfrac12, A=0, D=-tfrac12, B=-tfrac12

Passo 6

Portanto
yp = (0cdot x -tfrac12)cos x +l(-tfrac12x -tfrac12r)sin x = -tfrac12cos x - tfracx+12,sin x

Passo 7

A solução geral é
y = yh + yp = C1 e^x + C2,x e^x ;-;tfrac12cos x ;-;tfracx+12sin x

Resposta

boxedy = C1 e^x + C2,x e^x -12cos x - x+12sin x

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