Resolva a equação diferencial.
d^2 yd x^2+d yd x-2 y=x^2

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 + dydx - 2y = x^2
Vamos usar o método de superposição: a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh vem da equação homogênea e yp é uma solução particular, obtida pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
d^2ydx^2 + dydx - 2y = 0
montamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0
As raízes são
r = 1 e r = -2
Logo
yh(x) = C1e^x + C2e^-2x

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é o polinômio x^2, supomos
yp(x) = Ax^2 + Bx + C
Derivando, temos
yp'(x) = 2Ax + B, yp''(x) = 2A

Passo 4

Substituindo em
;y'' + y' - 2y = x^2, obtemos
2A + (2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C) = x^2
Agrupando termos em potências de x:
-2A,x^2 + (2A - 2B),x + (2A + B - 2C) = x^2
Igualando coeficientes:
-2A = 1, 2A - 2B = 0, 2A + B - 2C = 0,
A = -tfrac12, B = -tfrac12, C = -tfrac34
Portanto
yp(x) = -tfrac12,x^2 - tfrac12,x - tfrac34

Passo 5

Como yp não “bate” com nenhuma solução da homogênea, a solução geral fica
y(x) = C1e^x + C2e^-2x - tfrac12,x^2 - tfrac12,x - tfrac34

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^-2x - tfrac12,x^2 - tfrac12,x - tfrac34

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