(a) Suponha que P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0 seja um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a0 neq 0, a1, a2, ldots, an são números inteiros. Seja alpha um número inteiro. Prove que se alpha for uma raiz de P(x), então alpha será um divisor do termo independente a0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um polinômio de grau n com coeficientes inteiros
P(x)=an x^n + an-1x^n-1 + cdots + a1 x + a0 tem uma raiz inteira alpha,
então alpha deve necessariamente dividir o termo independente a0.
Conteúdo principal: Teorema do Factor (Teorema da raiz) e propriedades de divisibilidade em Z[x].

Passo 2

Para começar, lembramos do Teorema do Factor: se alpha é raiz de P(x), então x - alpha divide P(x). Mas aqui vamos direto pela condição P(alpha)=0.
Substituindo x=alpha em P(x), obtemos:
an alpha^n + an-1 alpha^n-1 + cdots + a1 alpha + a0 ,=,0

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm alpha e isolamos a0:
alphal(an alpha^n-1 + an-1 alpha^n-2 + cdots + a1r) + a0 ,=,0
a0 = -alphal(an alpha^n-1 + an-1 alpha^n-2 + cdots + a1r)

Passo 4

Como todos os coeficientes ai e alpha são inteiros, o produto
alpha (an alpha^n-1 + cdots + a1)
é um inteiro múltiplo de alpha. Logo o lado direito mostra que a0 é múltiplo de alpha.
Isso prova que alpha divide a0.

Resposta

Se alpha é raiz inteira de P(x), então alpha divide o termo independente a0.

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