(a) Suponha que
seja um polinômio de grau
, com coeficientes inteiros, isto é,
são números inteiros. Seja
um número inteiro. Prove que se
for uma raiz de
, então
será um divisor do termo independente
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um polinômio de grau
com coeficientes inteiros
tem uma raiz inteira
,
então deve necessariamente dividir o termo independente
.
Conteúdo principal: Teorema do Factor (Teorema da raiz) e propriedades de divisibilidade em .
então
Conteúdo principal: Teorema do Factor (Teorema da raiz) e propriedades de divisibilidade em
Passo 2
Para começar, lembramos do Teorema do Factor: se
é raiz de
, então
divide
. Mas aqui vamos direto pela condição
.
Substituindo em
, obtemos:
Substituindo
Passo 3
Agrupamos os termos que contêm
e isolamos
:
Passo 4
Como todos os coeficientes
e
são inteiros, o produto
é um inteiro múltiplo de . Logo o lado direito mostra que
é múltiplo de
.
Isso prova que divide
.
é um inteiro múltiplo de
Isso prova que
Resposta
Se
é raiz inteira de
, então
divide o termo independente
.