Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.
Determine ( x, y ) que maximiza (minimiza) a função f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}, com x e y sujeitos às restrições:
y=1-2 x, 0 \leq x \leq \frac{1}{2}
Passo 1
O enunciado pede para estudar extremos de f(x,y)=x^2+2y^2 sujeitos à reta y=1-2x e ao domínio 0\le x\le\tfrac12. Como y é dado em função de x, podemos eliminar y e ficar com uma função de uma variável em um intervalo.
Comparando os três valores:
– Menor valor é \tfrac{2}{9} em x=\tfrac{4}{9}, com y=1-2\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{1}{9}.
– Maior valor é 2 em x=0, com y=1, já que 2>\tfrac14.
Resposta
Mínimo em \bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{1}{9}\bigr) com f=\tfrac{2}{9}.
Máximo em (0,1) com f=2.