Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.
Determine ( x, y ) que maximiza (minimiza) a função f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}, com x e y sujeitos às restrições:
y=1-2 x, 0 \leq x \leq \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar extremos de f(x,y)=x^2+2y^2 sujeitos à reta y=1-2x e ao domínio 0\le x\le\tfrac12. Como y é dado em função de x, podemos eliminar y e ficar com uma função de uma variável em um intervalo.

Passo 2

Substituindo y=1-2x em f, temos
f(x)=x^2+2(1-2x)^2 = x^2 +2(1 -4x +4x^2) =9x^2 -8x +2.

Passo 3

A função f(x)=9x^2 -8x +2 é uma parábola com coeficiente positivo, logo tem um único mínimo no vértice. Calculando
x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2\cdot9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9},
que de fato pertence a \bigl[0,\tfrac12\bigr], pois \tfrac{4}{9}\approx0{,}444.

Passo 4

Agora avaliamo-nos o valor de f no ponto crítico e nos extremos do intervalo:
f\!\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr) = 9\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr)^2 -8\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr) +2 = \frac{2}{9},
f(0)=2,
f\!\Bigl(\tfrac12\Bigr)=9\cdot\frac14 -8\cdot\frac12 +2 = \frac14.

Passo 5

Comparando os três valores:
– Menor valor é \tfrac{2}{9} em x=\tfrac{4}{9}, com y=1-2\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{1}{9}.
– Maior valor é 2 em x=0, com y=1, já que 2>\tfrac14.

Resposta

Mínimo em \bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{1}{9}\bigr) com f=\tfrac{2}{9}.
Máximo em (0,1) com f=2.

Exercícios relacionados