Considere a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
(x+1) y^{\prime \prime}+y=0
(a) Suponha que a solução possa ser escrita como uma série de potências centrada em x=0 :
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
Substitua essa série na equação diferencial e determine a fórmula de recorrência para os coeficientes a_{n}.
(b) Usando a fórmula de recorrência, determine os quatro primeiros termos não nulos da série de potências.

Resposta

(a) Fórmula de recorrência:
\left\{\begin{aligned} a_{2} & =-\frac{1}{2} a_{0} \\\ a_{n+2} & =-\frac{n}{(n+2)} a_{n+1}-\frac{1}{(n+2)(n+1)} a_{n}, \quad n=1,2,3, \ldots \end{aligned}\right.
(b) Quatro primeiros termos da série de potências:
\begin{aligned} y(x)= & \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \\\ = & a_{0}\left(1-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3 \cdot 2} x^{3}-\frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 2} x^{4}+\cdots\right) \\\ & +a_{1}\left(x-\frac{1}{3 \cdot 2} x^{3}+\frac{1}{3 \cdot 4} x^{4}+\cdots\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
(x+1)\,y''+y=0
por série de potências centrada em x=0. Vamos assumir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
e precisamos calcular y'', substituir na EDO e igualar coeficientes de potências de x.

Passo 2

Derivando
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
vem
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2}.
Reindexando em n\to n+2
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.
Multiplicando por (x+1) obtemos
(x+1)y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} +\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n+1}.
Somando y e impondo (x+1)y''+y=0, igualamos o coeficiente de x^n (para n\ge0) a zero:
(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)n\,a_{n+1}+a_{n}=0.
Isolando a_{n+2} segue
\boxed{a_{n+2}=-\frac{n}{n+2}\,a_{n+1}-\frac{1}{(n+2)(n+1)}\,a_{n},\quad n\ge0.}

Passo 3

Usando a fórmula de recorrência para os primeiros índices:
  • Para n=0:
a_{2}=-\frac{0}{2}a_{1}-\frac{1}{2\cdot1}a_{0} =-\tfrac12\,a_{0}.
  • Para n=1:
a_{3}=-\frac{1}{3}a_{2}-\frac{1}{3\cdot2}a_{1} =-\tfrac13\bigl(-\tfrac12a_{0}\bigr)-\tfrac16a_{1} =\tfrac{1}{6}a_{0}-\tfrac{1}{6}a_{1}.
  • Para n=2:
a_{4}=-\frac{2}{4}a_{3}-\frac{1}{4\cdot3}a_{2} =-\tfrac12\bigl(\tfrac{1}{6}a_{0}-\tfrac{1}{6}a_{1}\bigr) -\tfrac{1}{12}\bigl(-\tfrac12a_{0}\bigr) =-\tfrac{1}{24}a_{0}+\tfrac{1}{12}a_{1}.

Passo 4

Os quatro primeiros termos não nulos da série são
a_{0},\quad a_{1}x,\quad -\tfrac12\,a_{0}x^{2},\quad \bigl(\tfrac{1}{6}a_{0}-\tfrac{1}{6}a_{1}\bigr)x^{3},
e o termo de ordem 4 é \bigl(-\tfrac1{24}a_{0}+\tfrac1{12}a_{1}\bigr)x^{4}. Agrupando em duas séries próprias:
y(x)=a_{0}\Bigl(1-\tfrac12x^{2}+\tfrac16x^{3}-\tfrac1{24}x^{4}+\cdots\Bigr) +a_{1}\Bigl(x-\tfrac16x^{3}+\tfrac1{12}x^{4}+\cdots\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle a_{n+2}=-\frac{n}{n+2}\,a_{n+1}-\frac{1}{(n+2)(n+1)}\,a_{n},\quad n\ge0.
(b) y(x)=a_{0}\Bigl(1-\tfrac12x^{2}+\tfrac16x^{3}-\tfrac1{24}x^{4}+\cdots\Bigr) + a_{1}\Bigl(x-\tfrac16x^{3}+\tfrac1{12}x^{4}+\cdots\Bigr).

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