\text { Calcule a massa da chapa fina } \sigma \text { dada por } x=u, y=v \text { e } z=u+2 v, 0 \leq u \leq 1 \text { e } 0 \leq v \leq 1 \text {, sendo } f(x, y, z)=x+y+z \text { a densidade superficial. }

Passo 1

O enunciado nos dá uma chapa fina Σ parametrizada por
x = u,\quad y = v,\quad z = u + 2v,
com \,(u,v)\in[0,1]\times[0,1], e densidade superficial
f(x,y,z)=x+y+z.
Para achar a massa, precisamos usar a integral de superfície
\text{massa}=\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\,dS,
onde dS vem do módulo do produto vetorial dos vetores tangentes à superfície.

Passo 2

Vamos parametrizear pela função vetor
\mathbf r(u,v) = \bigl(u,\,v,\,u+2v\bigr).
Os vetores tangentes são
\mathbf r_u = \frac{\partial\mathbf r}{\partial u} = (1,0,1), \quad \mathbf r_v = \frac{\partial\mathbf r}{\partial v} = (0,1,2).

Passo 3

O elemento de área é
dS = \|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv.
Calculando o produto vetorial:
\mathbf r_u\times\mathbf r_v = (1,0,1)\times(0,1,2) = (-1,-2,1),
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\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{6}.

Passo 4

Expressamos a densidade em u,v:
f(u,v) = x+y+z = u + v + (u+2v) = 2u + 3v.
Assim a massa fica
\text{massa} = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1} \bigl(2u+3v\bigr)\,\sqrt{6}\;du\,dv = \sqrt{6}\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}(2u+3v)\,du\,dv.

Passo 5

Primeiro, integramos em u:
\int_{0}^{1}(2u+3v)\,du = \bigl[u^2+3vu\bigr]_{0}^{1} = 1+3v.
Depois, em v:
\int_{0}^{1}(1+3v)\,dv = \bigl[v+\tfrac{3}{2}v^2\bigr]_{0}^{1} = 1+\tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{2}.
Multiplicando por \sqrt{6}, obtemos a massa.

Resposta

\frac{5\sqrt{6}}{2}

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