Estude a função com relação a máximos e mínimos locais e globais.
y=x^3x^2+4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
y=x^3x^2+4
com respeito a máximos e mínimos locais e globais. Para isso vamos precisar de derivadas para identificar pontos críticos e de limites no infinito para verificar extremos globais.

Passo 2

Primeiro observamos o domínio. Como x^2+4>0 para todo xinR, a função está definida e é derivável em todo R.

Passo 3

Calculamos a derivada usando a regra do quociente:
y'=(x^2+4)cdot 3x^2 - x^3cdot 2x(x^2+4)^2 =3x^4+12x^2-2x^4(x^2+4)^2 =x^2(x^2+12)(x^2+4)^2

Passo 4

Os pontos críticos são onde y'=0 ou y' não existe. Aqui o denominador nunca zera, então
y'=0iff x^2(x^2+12)=0iff x=0

Passo 5

Estudamos o sinal de y': como x^2>=0 e x^2+12>0 em todo R, o numerador é não-negativo e o denominador é sempre positivo. Portanto
  • Para xneq0, y'>0,
  • Em x=0, y'=0.
    Isso mostra que y é estritamente crescente em R (não há mudança de sinal de y' em x=0), logo não há máximos nem mínimos locais. O ponto x=0 é um ponto de inflexão estacionário.

Passo 6

Para extremos globais analisamos os limites no infinito:
limxto+inftyx^3x^2+4 =limxto+inftyx1+4/x^2=+infty,
limxto-inftyx^3x^2+4 =-infty
Não existem valores máximos nem mínimos absolutos.

Resposta

A função não apresenta máximos nem mínimos, nem locais nem globais. Há apenas um ponto de inflexão estacionário em x=0.

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