Estude a função com relação a máximos e mínimos locais e globais.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
com respeito a máximos e mínimos locais e globais. Para isso vamos precisar de derivadas para identificar pontos críticos e de limites no infinito para verificar extremos globais.
com respeito a máximos e mínimos locais e globais. Para isso vamos precisar de derivadas para identificar pontos críticos e de limites no infinito para verificar extremos globais.
Passo 2
Primeiro observamos o domínio. Como
para todo
, a função está definida e é derivável em todo
.
Passo 3
Calculamos a derivada usando a regra do quociente:
Passo 4
Os pontos críticos são onde
ou
não existe. Aqui o denominador nunca zera, então
Passo 5
Estudamos o sinal de
: como
e
em todo
, o numerador é não-negativo e o denominador é sempre positivo. Portanto
- Para
, , - Em
, .
Isso mostra queé estritamente crescente em (não há mudança de sinal de em ), logo não há máximos nem mínimos locais. O ponto é um ponto de inflexão estacionário.
Passo 6
Para extremos globais analisamos os limites no infinito:
Não existem valores máximos nem mínimos absolutos.
Resposta
A função não apresenta máximos nem mínimos, nem locais nem globais. Há apenas um ponto de inflexão estacionário em
.