Faça o estudo do sinal de cada uma das funções abaixo, isto é, determine os intervalos em que ela é positiva e os intervalos em que ela é negativa.
Passo 1
O enunciado pede o estudo do sinal da função
, ou seja, em que intervalos ela é positiva, negativa ou zero. O conteúdo envolvido é análise de funções: domínio, zeros e sinais dos fatores do numerador e denominador.
Passo 2
Para encontrar o domínio, exigimos que o radicando seja não negativo:
, o que dá
. Além disso, o denominador não pode ser zero, portanto
e
. Concluímos que o domínio é
.
Passo 3
Os zeros da função ocorrem quando o numerador se anula:
, isto é,
ou
, ambos pertencentes ao domínio. Nestes pontos,
.
Passo 4
O denominador
tem fatores
e
que se anulam em
e
, respectivamente. Estudamos o sinal de cada fator nos intervalos
,
e
:
- Em
: e , logo . - Em
: e , logo . - Em
: e , logo .
Passo 5
Como o numerador
é estritamente positivo em
, exceto nos zeros já encontrados, o sinal de
em cada intervalo resulta do sinal do denominador. Assim:
-
em . -
em . -
em .
Eme temos , e em ou a função é indefinida.