Faça o estudo do sinal de cada uma das funções abaixo, isto é, determine os intervalos em que ela é positiva e os intervalos em que ela é negativa.
f(x)=raiz16-x^2x^3(1-x)

Passo 1

O enunciado pede o estudo do sinal da função f(x)=raiz16-x^2x^3(1-x), ou seja, em que intervalos ela é positiva, negativa ou zero. O conteúdo envolvido é análise de funções: domínio, zeros e sinais dos fatores do numerador e denominador.

Passo 2

Para encontrar o domínio, exigimos que o radicando seja não negativo: 16 - x^2 >= 0, o que dá -4 <= x <= 4. Além disso, o denominador não pode ser zero, portanto x neq 0 e x neq 1. Concluímos que o domínio é [-4,4]setminus0,1.

Passo 3

Os zeros da função ocorrem quando o numerador se anula: raiz16 - x^2 = 0, isto é, x = -4 ou x = 4, ambos pertencentes ao domínio. Nestes pontos, f(x) = 0.

Passo 4

O denominador x^3(1-x) tem fatores x^3 e 1-x que se anulam em x=0 e x=1, respectivamente. Estudamos o sinal de cada fator nos intervalos (-4,0), (0,1) e (1,4):
  • Em (-4,0): x^3<0 e 1-x>0, logo x^3(1-x)<0.
  • Em (0,1): x^3>0 e 1-x>0, logo x^3(1-x)>0.
  • Em (1,4): x^3>0 e 1-x<0, logo x^3(1-x)<0.

Passo 5

Como o numerador raiz16 - x^2 é estritamente positivo em (-4,4), exceto nos zeros já encontrados, o sinal de f(x) em cada intervalo resulta do sinal do denominador. Assim:
  • f(x)<0 em (-4,0).
  • f(x)>0 em (0,1).
  • f(x)<0 em (1,4).
    Em x=-4 e x=4 temos f(x)=0, e em x=0 ou x=1 a função é indefinida.

Resposta

f(x)>0 para xin(0,1); f(x)<0 para xin(-4,0)cup(1,4).

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