Verifique se o teorema da divergência é verdadeiro para o campo vetorial
e a região
.
é o cilindro sólido
Stweard 7ed exer 16.9.4
Stweard 7ed exer 16.9.4
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo
na região que é o cilindro sólido
na região
O Teorema da Divergência diz que
Vamos calcular primeiro o volume integral e depois o fluxo pela fronteira.
Passo 2
Calculemos a divergência de
:
Passo 3
Montamos o volume integral
Como
não depende de
, o integral em
é a área do disco de raio 3, isto é
. Logo
Passo 4
Agora calculemos o fluxo pela superfície
, que se divide em três partes:
a) Casquinha lateral
.
O vetor normal unitário aponta radialmente e satisfaz
e
Parametrizando por ,
,
,
, obtemos
O vetor normal unitário aponta radialmente e satisfaz
e
Parametrizando por
pois
.
b) Tampa em
. Aqui
e
, logo
. O fluxo é zero.
c) Tampa em
. Aqui
e
, logo
. Então
Somando as três partes, o fluxo total é
Resposta
O volume integral dá
e o fluxo pela fronteira também dá
. Portanto o Teorema da Divergência é válido para este caso.