Verifique se o teorema da divergência é verdadeiro para o campo vetorial F e a região E.
F(x, y, z)=x^2 i-y j+z k, E é o cilindro sólido y^2+z^2 <= 9,0 <= z <= 2
Stweard 7ed exer 16.9.4

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo
F(x,y,z)=lang<= x^2,,-y,,zrang<=
na região E que é o cilindro sólido
y^2+z^2<=9, 0<= x<=2
O Teorema da Divergência diz que
integral duplapartial EFcdotn,dS =integral triplaE(nablacdotF),dV
Vamos calcular primeiro o volume integral e depois o fluxo pela fronteira.

Passo 2

Calculemos a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial x(x^2) +partialpartial y(-y) +partialpartial z(z) =2x -1 +1 =2x

Passo 3

Montamos o volume integral
integral triplaE2x,dV =integralx=0^2!!integraly^2+z^2<=92x,dA,dx
Como 2x não depende de (y,z), o integral em (y,z) é a área do disco de raio 3, isto é 9pi. Logo
integral triplaE2x,dV =9piintegral0^22x,dx =9pil[x^2r]0^2 =9picdot4 =36pi

Passo 4

Agora calculemos o fluxo pela superfície partial E, que se divide em três partes:
a) Casquinha lateral y^2+z^2=9,;0<= x<=2.
O vetor normal unitário aponta radialmente e satisfaz
n=l(0,tfracy3,tfracz3r)
e
Fcdotn =-yy3+zz3 =-y^2+z^23
Parametrizando por theta, y=3costheta, z=3sintheta, dS=3,dtheta,dx, obtemos
integral duplalateralFcdotn,dS =integral0^2!!integral0^2pi9l(-cos^2theta+sin^2thetar),dtheta,dx =0
pois integral0^2pi(sin^2theta-cos^2theta)dtheta=0.
b) Tampa em x=0. Aqui n=(-1,0,0) e F(0,y,z)=lang<=0,-y,zrang<=, logo Fcdotn=0. O fluxo é zero.
c) Tampa em x=2. Aqui n=(1,0,0) e F(2,y,z)=lang<=4,-y,zrang<=, logo Fcdotn=4. Então
integral duplax=2Fcdotn,dS =4cdotl(área do disco y^2+z^2<=9r) =4cdot9pi =36pi á
Somando as três partes, o fluxo total é
0+0+36pi=36pi

Resposta

O volume integral dá 36pi e o fluxo pela fronteira também dá 36pi. Portanto o Teorema da Divergência é válido para este caso.

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