Estude a monotonicidade da sequência.
a_{n}=n^{2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade da sequência \{a_n\} definida por
a_n = n^2.
O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências numéricas: dizemos que \{a_n\} é estritamente crescente se, para todo n\in\mathbb{N}, vale a_{n+1}>a_n. Vamos usar essa definição e analisar a diferença entre termos consecutivos.

Passo 2

Calculemos a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2.
Expandindo o quadrado, temos
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1,
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a_{n+1} - a_n = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1.

Passo 3

Observamos que, para todo n\in\mathbb{N},
2n + 1 > 0.
Portanto,
a_{n+1} - a_n > 0\quad\forall\,n\in\mathbb{N},
o que significa que cada termo é maior que o anterior.

Passo 4

Como a diferença a_{n+1}-a_n é sempre positiva, concluímos que a sequência \{a_n\} é estritamente crescente. Em outras palavras, é monotonicamente crescente.

Resposta

A sequência \{a_n\} com a_n = n^2 é estritamente crescente, isto é, monotonicamente crescente.

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