Estude a monotonicidade da sequência.
a_{n}=\sqrt{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade da sequência
a_{n} = \sqrt{n}.
O conteúdo envolvido é definição de sequência monótona (crescente ou decrescente). Vamos usar a comparação entre termos consecutivos a_{n+1} e a_{n}.

Passo 2

Para verificar se \{a_{n}\} é crescente, calculamos a diferença entre o termo seguinte e o termo atual:
a_{n+1} - a_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}.

Passo 3

Reescrevendo a diferença de modo a evidenciar o sinal, fazemos racionalização:
\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.

Passo 4

Como para todo n\ge1 temos \sqrt{n+1}+\sqrt{n}>0, segue que
a_{n+1}-a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} > 0.
Logo a_{n+1}>a_{n} para todo n.

Resposta

A sequência \{a_{n}\} é estritamente crescente.

Exercícios relacionados