Estude a monotonicidade da sequência.
a_{n}=\frac{n+1}{2 n}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade da sequência
a_{n} = \frac{n+1}{2n},
ou seja, verificar se ela é crescente, decrescente ou nem uma nem outra. Para isso, vamos comparar a_{n+1} com a_n.

Passo 2

Escrevemos
a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{2(n+1)} = \frac{n+2}{2(n+1)}.
Em seguida, consideramos a diferença
a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{2(n+1)} - \frac{n+1}{2n}.

Passo 3

Colocando sobre o mesmo denominador 2n(n+1), temos
a_{n+1} - a_n = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{2n(n+1)} = \frac{n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1)}{2n(n+1)} = \frac{-1}{2n(n+1)}.
Como n\ge1, o denominador 2n(n+1) é positivo, logo
a_{n+1} - a_n = -\frac{1}{2n(n+1)} < 0.

Passo 4

Concluímos que a_{n+1} < a_n para todo n\ge1. Isso significa que a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência \{a_n\} é estritamente decrescente.

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