Verifique se as sequências são limitadas, limitadas superiormente ou limitadas inferiormente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, para a sequência
, se ela é
– limitada superiormente (existe tal que
para todo
),
– limitada inferiormente (existe tal que
para todo
),
– limitada (simultaneamente superior e inferior).
Vamos usar a definição de sequência e raciocinar sobre valores de .
– limitada superiormente (existe
– limitada inferiormente (existe
– limitada (simultaneamente superior e inferior).
Vamos usar a definição de sequência e raciocinar sobre valores de
Passo 2
Para mostrar que
é limitada superiormente, note que, como
, temos
Logo, basta escolher
. Então para todo
vale
, o que prova que a sequência é limitada superiormente.
Passo 3
Para mostrar que
é limitada inferiormente, observe que, novamente para
,
Basta escolher
. Assim para todo
vale
, o que prova que a sequência é limitada inferiormente.
Passo 4
Como já encontramos um
que limita
por cima e um
que limita por baixo, concluímos que a sequência é limitada (isto é, simultaneamente limitada superiormente e inferiormente).
Resposta
A sequência
é limitada. Ela é limitada superiormente por
e limitada inferiormente por
.