Verifique se as sequências são limitadas, limitadas superiormente ou limitadas inferiormente.
a_{n}=\frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, para a sequência a_n = \tfrac{1}{n}, se ela é
– limitada superiormente (existe M tal que a_n \le M para todo n),
– limitada inferiormente (existe m tal que a_n \ge m para todo n),
– limitada (simultaneamente superior e inferior).
Vamos usar a definição de sequência e raciocinar sobre valores de n\in\mathbb{N}^*.

Passo 2

Para mostrar que a_n é limitada superiormente, note que, como n\ge1, temos
a_n = \frac{1}{n} \le \frac{1}{1} = 1.
Logo, basta escolher M=1. Então para todo n vale a_n \le M, o que prova que a sequência é limitada superiormente.

Passo 3

Para mostrar que a_n é limitada inferiormente, observe que, novamente para n\ge1,
a_n = \frac{1}{n} > 0.
Basta escolher m=0. Assim para todo n vale a_n \ge m, o que prova que a sequência é limitada inferiormente.

Passo 4

Como já encontramos um M que limita a_n por cima e um m que limita por baixo, concluímos que a sequência é limitada (isto é, simultaneamente limitada superiormente e inferiormente).

Resposta

A sequência a_n = \tfrac{1}{n} é limitada. Ela é limitada superiormente por 1 e limitada inferiormente por 0.

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