Questão 1 - (3,0):
(a) - (1,5): Se f(x)=integralcos (raizpi)^tg(raizx) e^-t d t, definida no intervalo (0, pi2), em qual intervalo f é crescente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função definida no intervalo . O que a gente precisa descobrir é em qual parte desse intervalo a função está crescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e propriedades das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para saber onde a função está crescendo, precisamos encontrar a derivada dela, ou seja, . Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma função definida por uma integral. A derivada de é . No nosso caso, e .

Passo 4

Calculando g(x) = tan(raizx) g'(x) = sec^2(raizx) cdot 12raizx = sec^2(raizx)2raizx , temos:
f'(x) = e^-tan(raizx) cdot sec^2(raizx)2raizx
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de . Sabemos que é sempre positivo para todo . Além disso, também é sempre positivo, já que é o inverso do cosseno, que não é zero nesse intervalo. Por fim, é positivo para .

Passo 6

Como todos os fatores na expressão de são positivos no intervalo , isso significa que em todo esse intervalo. Portanto, a função está sempre crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função é crescente em todo o intervalo .

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