Determine três números positivos cuja soma é 90 e cujo produto é máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar três números positivos que somados dão 90 e cujo produto seja o maior possível. Vamos usar conceitos de otimização da matemática, especificamente funções e como encontrar seus máximos. Para resolver isso, vamos precisar montar uma equação que represente o produto desses números e descobrir quais valores maximizam essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os três números de $ x $, $ y $ e $ z $. Sabemos que:
Queremos maximizar o produto:
Passo 3
Para facilitar, vamos expressar $ z $ em função de $ x $ e $ y $. Da soma, temos:
Substituindo na expressão do produto:
Passo 4
Agora, temos uma função $ P(x, y) $ que depende de duas variáveis. Para encontrar o máximo dessa função, podemos usar o cálculo diferencial, procurando os pontos onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 5
Vamos calcular a derivada parcial de $ P $ em relação a $ x $:
E igualar a zero:
Simplificando:
Como $ y > 0 $, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ P $ em relação a $ y $:
E igualar a zero:
Simplificando:
Como $ x > 0 $, temos:
Passo 7
Agora temos duas equações:
Vamos substituir a expressão de $ y $ na segunda equação:
Passo 8
Com $ x = 30 $, vamos encontrar $ y $:
E, por fim, $ z $:
Resposta
Os três números são 30, 30 e 30, e o produto máximo é $ 30 \times 30 \times 30 = 27,000 $.