Determine três números positivos cuja soma é 90 e cujo produto é máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar três números positivos que somados dão 90 e cujo produto seja o maior possível. Vamos usar conceitos de otimização da matemática, especificamente funções e como encontrar seus máximos. Para resolver isso, vamos precisar montar uma equação que represente o produto desses números e descobrir quais valores maximizam essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os três números de $ x $, $ y $ e $ z $. Sabemos que:
x
Queremos maximizar o produto:
y

Passo 3

Para facilitar, vamos expressar $ z $ em função de $ x $ e $ y $. Da soma, temos:
z
Substituindo na expressão do produto:
x

Passo 4

Agora, temos uma função $ P(x, y) $ que depende de duas variáveis. Para encontrar o máximo dessa função, podemos usar o cálculo diferencial, procurando os pontos onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 5

Vamos calcular a derivada parcial de $ P $ em relação a $ x $:
P
E igualar a zero:
x
Simplificando:
partial Ppartial x = y times (90 - x - y) + x times y times (-1) = y(90 - x - y) - xy
Como $ y > 0 $, temos:
y(90 - x - y) - xy = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ P $ em relação a $ y $:
P
E igualar a zero:
y
Simplificando:
partial Ppartial y = x times (90 - x - y) + x times y times (-1) = x(90 - x - y) - xy
Como $ x > 0 $, temos:
x(90 - x - y) - xy = 0

Passo 7

Agora temos duas equações:
y = 90 - 2x x = 90 - 2y
Vamos substituir a expressão de $ y $ na segunda equação:
y

Passo 8

Com $ x = 30 $, vamos encontrar $ y $:
x = 30
E, por fim, $ z $:
y

Resposta

Os três números são 30, 30 e 30, e o produto máximo é $ 30 \times 30 \times 30 = 27,000 $.

Exercícios relacionados