Estude a posicão relativa das retas L_{1} e L_{2} nos seguintes casos:
L_{1}: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{2} \quad L_{2}: P=t(1,2,0), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos a posição relativa das retas
L_{1}:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{2}
e
L_{2}:P=(x,y,z)=t\,(1,2,0),\quad t\in\mathbb{R}.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para isso vamos passar cada reta para forma paramétrica, extrair um ponto e um vetor diretor, e então verificar se os vetores são paralelos (ou não) e se existe solução comum (interseção).

Passo 2

Escrevendo L_{1} em forma paramétrica, seja
\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{2}=\lambda.
Então
x=2\lambda-1,\quad y=3\lambda,\quad z=2\lambda-1.
Um ponto em L_{1} é P_{1}=(-1,0,-1) (quando \lambda=0) e o vetor diretor é
\mathbf{d}_{1}=(2,3,2).
Para L_{2} já temos a forma paramétrica
x=t,\quad y=2t,\quad z=0,
portanto um ponto em L_{2} é P_{2}=(0,0,0) e o vetor diretor é
\mathbf{d}_{2}=(1,2,0).

Passo 3

Testamos se \mathbf{d}_{1} e \mathbf{d}_{2} são paralelos, ou seja, se existe \mu tal que
\mathbf{d}_{1}=\mu\,\mathbf{d}_{2}.
Como (2,3,2) não é múltiplo escalar de (1,2,0) (por exemplo, a terceira componente impede isso), concluímos que as retas não são paralelas.

Passo 4

Para ver se elas se intersectam, buscamos \lambda e t tais que
2\lambda-1 = t,\quad 3\lambda = 2t,\quad 2\lambda-1 = 0.
Da terceira equação vem \lambda=\tfrac12. Então da primeira temos t=2\cdot\tfrac12-1=0. Substituindo na segunda, o lado esquerdo dá
3\lambda=3\cdot\tfrac12=\tfrac32
e o lado direito dá 2t=0. Como \tfrac32\neq0, não há solução comum, ou seja, não se intersectam.

Passo 5

Como as retas não são paralelas e ao mesmo tempo não se intersectam, a posição relativa é de retas reversas (ou “às escalas”, “espaçadas”).

Resposta

As retas L_{1} e L_{2} são reversas.

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