Estude a posicão relativa das retas L_{1} e L_{2} nos seguintes casos:
L_{1}:\left\{\begin{array}{l}x-y-z=2 \\\ x+y-z=0\end{array} \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+z=5 \\\ x+y-2 z=0\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa das retas L_{1} e L_{2} em \mathbb{R}^{3}. Cada reta está dada como interseção de duas placas (planos), então vamos:
  1. representar cada reta em forma paramétrica, extraindo um ponto e um vetor diretor;
  2. verificar se os vetores diretores são colineares (retas paralelas ou coincidentes) ou não;
  3. caso não sejam colineares, resolver o sistema que iguala as parametrizações para ver se há um ponto em comum (retas concorrentes) ou não (retas reversas/escantilhadas).

Passo 2

Para L_{1}\) temos o sistema \[\begin{cases} x - y - z = 2,\\\ x + y - z = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira obtém-se
-2y = 2\quad\Longrightarrow\quad y=-1.
Na segunda equação fica x -1 - z=0\], isto é \[z = x -1. Tomando o parâmetro t = x, obtemos a parametrização
L_{1}:\quad \begin{cases} x = t,\\\ y = -1,\\\ z = t - 1, \end{cases}
ou seja, um ponto em L_{1}\] é \(P_{1}=(0,-1,-1) (quando t=0) e o vetor diretor é
v_{1} = (1,0,1).

Passo 3

Para L_{2}\) temos \[\begin{cases} 2x - 3y + z = 5,\\\ x + y - 2z = 0. \end{cases}
Escolhendo s = z\], da segunda equação sai \[x + y = 2s\implies x=2s - y. Substituindo na primeira:
2(2s-y)-3y+s=5 \quad\Longrightarrow\quad 5s-5y=5 \quad\Longrightarrow\quad y=s-1,
logo x=2s-(s-1)=s+1. Assim
L_{2}:\quad \begin{cases} x = s+1,\\\ y = s-1,\\\ z = s, \end{cases}
e um ponto é P_{2}=(1,-1,0)\] (quando \(s=0), com vetor diretor
v_{2}=(1,1,1).

Passo 4

Comparemos os vetores diretores:
v_{1}=(1,0,1), \quad v_{2}=(1,1,1).
Eles não são múltiplos escalares um do outro (não existe \lambda tal que (1,0,1)=\lambda(1,1,1)). Portanto as retas não são paralelas nem coincidentes. Resta verificar se se intersectam ou são reversas (não coplanares).

Passo 5

Para testar a interseção, igualamos as parametrizações:
(t,\,-1,\,t-1)\;=\;(s+1,\;s-1,\;s).
Isto gera o sistema
\begin{cases} t = s+1,\\\\ -1 = s-1,\\\ t - 1 = s. \end{cases}
Da segunda equação vem s=0. Então t=0+1=1. Na terceira: 1-1=0, que coincide com s=0. Logo há solução comum, e o ponto de interseção é
(t,s)=(1,0)\quad\Longrightarrow\quad (x,y,z)=(1,\,-1,\,0).

Resposta

As retas L_{1} e L_{2} não são paralelas e se intersectam no ponto (1,-1,0).

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