Estude a posicão relativa das retas L_{1} e L_{2} nos seguintes casos:
L_{1}: P=(1,-1,1)+t(-2,1,-1), t \in \mathbb{R} \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}y+z=3 \\\ x+y-z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\) e pede sua posição relativa (interseção única, coincidentes, paralelas distintas ou reversas "skew"). A reta \(L_{1}\) está em forma paramétrica \[L_{1}:\;P(t)=(1,-1,1)+t\,(-2,1,-1),
com vetor diretor \mathbf{v}_{1}=(-2,1,-1).
A reta L_{2} é a interseção dos planos
\begin{cases} y+z=3,\\\ x+y-z=6, \end{cases}
logo vamos extrair seu vetor diretor \mathbf{v}_{2}\] e comparar com \(\mathbf{v}_{1}. Se forem múltiplos escalar, então são paralelas (talvez coincidentes); caso contrário, ou coincidem em um ponto ou são “skew”.

Passo 2

Para achar \mathbf{v}_{2} de L_{2} calculamos o produto vetorial dos normais desses planos. Os normais são
\mathbf{n}_{1}=(0,1,1) e \mathbf{n}_{2}=(1,1,-1).
\mathbf{v}_{2} \;=\;\mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2} =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&1&1\\\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} =-2\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}-1\,\mathbf{k} =(-2,1,-1).

Passo 3

Comparemos \mathbf{v}_{1}=(-2,1,-1) com \mathbf{v}_{2}=(-2,1,-1). Como são idênticos (logo múltiplos escalares), as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir entre coincidentes ou paralelas distintas, verificamos se um ponto de L_{1} satisfaz as equações de L_{2}. Tomemos t=0 em L_{1}, dando P_{0}=(1,-1,1). Teste em
y+z = (-1)+(1)=0\;\overset{?}{=}3
já falha. Portanto P_{0}\notin L_{2}, e as retas não se cruzam nem coincidem.

Resposta

As retas L_{1} e L_{2} são paralelas e distintas.

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