a equação A x=b possui ao menos uma solução para todo b \neq 0 ?
para as seguintes matrizes de coeficientes:
A é uma matriz 2 \times 4 com duas posições pivô.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, e dá uma informação importante sobre a matriz A:
Perguntas:
A equação homogênea A x=0 possui uma solução não trivial?
A equação A x=b possui ao menos uma solução para todo b\neq 0?
Informações fornecidas:
A é uma matriz 2\times4. Ou seja, o número de linhas é m=2 e o número de colunas (variáveis) é n=4.
A matriz A tem duas posições pivô. Vou anotar isso dizendo que o posto (rank) de A é r=2.
Observação técnica necessária (apenas para referência nas contas): os vetores desconhecidos x vivem em \mathbb{R}^{4} e os vetores b estão em \mathbb{R}^{2}.
Passo 2
O que significa “duas posições pivô” e como isso se relaciona com soluções?
“Posição pivô” corresponde a uma coluna com pivô na forma escalonada; o número de pivôs é o posto da matriz. Assim estamos em r=2.
Conceitos que vou usar (explicados de forma didática):
O posto r é a dimensão do espaço coluna de A (o subespaço de \mathbb{R}^2 gerado pelas colunas de A).
A dimensão do espaço nulo (o conjunto de soluções da homogênea A x=0) é dada pelo Teorema do posto-nulidade:\text{nulidade}(A)=n-r.Aqui n é o número de colunas (variáveis) e r é o posto.
A equação A x=b tem solução se, e somente se, b pertence ao espaço coluna de A. Se o espaço coluna é todo \mathbb{R}^2, então todo b\in\mathbb{R}^2 tem solução.
Passo 3
Aplicando o posto-nulidade ao sistema homogêneo A x=0:
Temos n=4 e r=2. Então\text{nulidade}(A)=n-r=4-2=2.
Interpretação: a dimensão do espaço de soluções da homogênea é 2, ou seja, existem dois graus de liberdade (duas variáveis livres). Portanto há soluções não triviais (além da solução x=0) — na verdade há infinitas soluções não triviais, formando um subespaço de dimensão 2.
Passo 4
Um exemplo concreto de como aparecem as soluções não triviais (para ver “na prática” como resolver na prova):
Se reduzirmos A\) a uma forma escalonada reduzida por linhas, por permutações e operações elementares podemos obter, sem perda de generalidade, uma forma do tipo
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & a & b\\[4pt] 0 & 1 & c & d \end{pmatrix},onde a,b,c,d são números reais que dependem de A.
Tomando x_3=s\] e \(x_4=t como parâmetros livres (qualquer s,t\in\mathbb{R}), obtemosx_1 = -a s - b t,\qquad x_2 = -c s - d t,logo a solução geral éx = s\begin{pmatrix}-a\\\ -c\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-b\\\ -d\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Conclusão prática: basta escolher s ou t não nulos para obter uma solução não trivial. Na prova, ao ver n>r já se conclui isso sem calcular nada.]
Passo 5
Análise da existência de solução para A x=b (caso não homogêneo):
A equação A x=b tem solução ⇔ b pertence ao espaço coluna de A.
O espaço coluna de A tem dimensão igual ao posto r=2. Como as colunas de A são vetores em \mathbb{R}^2 (porque A tem 2 linhas), um subespaço de dimensão 2 de \mathbb{R}^2 é o próprio \mathbb{R}^2.
Portanto o espaço coluna de A é \mathbb{R}^2 inteiro. Consequência: para todo vetor b\in\mathbb{R}^2 (incluindo todo b\neq 0) existe pelo menos uma solução de A x=b.
Sobre unicidade: como há variáveis livres (nulidade =2), as soluções de A x=b não são únicas; para cada b que pertence ao espaço coluna existem infinitas soluções (um conjunto afim de dimensão 2).
Passo 6
Resumo final e dica de prova:
Se vir na prova uma matriz m\times n com r pivôs, lembre-se imediatamente que:
Dimensão do núcleo = n-r. Se n-r>0, a homogênea tem soluções não triviais.
Se r=m (posto igual ao número de linhas), as colunas geram \mathbb{R}^m, então todo b\in\mathbb{R}^m é atingido por A e A x=b é compatível para todo b.
Aqui n-r=2>0 garante soluções não triviais; e r=m=2 garante que todo b\in\mathbb{R}^2 tem solução.
Resposta
a) Sim: A x=0 possui soluções não triviais (na verdade infinitas), pois \text{nulidade}(A)=4-2=2>0.
b) Sim: A x=b possui pelo menos uma solução para todo b\neq 0 (de fato para todo b\in\mathbb{R}^2), porque o posto é 2 e as colunas de A geram \mathbb{R}^2.