a equação A x=b possui ao menos uma solução para todo b \neq 0 ?
para as seguintes matrizes de coeficientes:
A é uma matriz 3 \times 2 com duas posições pivô.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A de tamanho 3\times2 e diz que ela tem duas posições pivô. As perguntas são:
a equação homogênea A x=0 possui uma solução não trivial?
a equação A x=b possui ao menos uma solução para todo b\neq0?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A tem m=3 linhas e n=2 colunas.
O número de pivôs é 2.
Passo 2
Interpretação do número de pivôs: o número de pivôs de A é exatamente o posto de A. Ou seja,
\mathrm{rank}(A)=2.
Explico devagar: cada pivô corresponde a uma coluna linearmente independente (e também a uma linha com informação útil). Como A tem n=2 colunas e encontrou-se 2 pivôs, isso significa que as duas colunas são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^{3}.
Passo 3
Analisando a equação homogênea A x=0.
Teoria necessária (passo a passo, sem atalho):
Para um sistema homogêneo A x=0 com n incógnitas, vale a fórmula da nulidade (teorema da dimensão):
\dim(\mathrm{Nul}(A))=n-\mathrm{rank}(A),
onde \mathrm{Nul}(A) é o núcleo (espaço de soluções de A x=0).
Se \dim(\mathrm{Nul}(A))=0, então o único vetor que satisfaz A x=0 é o vetor nulo x=0 (ou seja, não existe solução não trivial).
Portanto não há solução não trivial: a única solução é x=0.
Intuição extra (útil para prova): como as duas colunas são linearmente independentes, a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial com coeficientes todos zero. Em termos de eliminação, ao reduzir A em forma escalonada por colunas obter-se-ia uma matriz com duas linhas pivô que forçam as duas incógnitas a serem zero.
Passo 4
Analisando A x=b para b\neq0.
Teoria necessária:
Um vetor b\in\mathbb{R}^{3} tem solução A x=b se, e somente se, b pertence ao espaço coluna de A, denotado \mathrm{Col}(A).
\dim(\mathrm{Col}(A))=\mathrm{rank}(A)=2. Assim \mathrm{Col}(A) é um subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 2 (uma “reta- plano” passando pela origem).
Para que exista solução para todo b\in\mathbb{R}^{3} (em particular para todo b\neq0) seria necessário que \mathrm{Col}(A)=\mathbb{R}^{3}, o que exige \mathrm{rank}(A)=3.
Aplicando aqui:
\mathrm{rank}(A)=2<3,
logo \mathrm{Col}(A) é um plano próprio de \mathbb{R}^{3}, não todo \mathbb{R}^{3}. Assim existem vetores b (muitos deles) que não pertencem a \mathrm{Col}(A) e para os quais A x=b não tem solução. Portanto não é verdade que A x=b tenha solução para todo b\neq0.
Exemplo construtivo (para fixar a intuição): se as colunas de A forem, por exemplo,
então \mathrm{Col}(A)=\{(u,v,0)^\top: u,v\in\mathbb{R}\}. O vetor b=(0,0,1)^\top não está nesse plano, logo para esse b não existe solução de A x=b. Isso mostra explicitamente que nem todo b\neq0 admite solução.
Passo 5
Resumo didático e motivacional: com apenas duas colunas independentes em \mathbb{R}^3 o espaço coluna tem dimensão 2; por isso o homogêneo tem só a solução trivial e o não-homogêneo só é solucionável quando b estiver nesse plano gerado pelas colunas. Fica a dica para a prova: sempre conte colunas (n), linhas (m) e pivôs (posto), e use as fórmulas