(6) (Cálculo de produto vetorial) Encontre o comprimento e a direção de u times v e v times u. Sendo que:
u=-8 imath-2 jmath-4 k e v=2 imath+2 jmath+k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o comprimento e a direção dos produtos vetoriais u times v e v times u. Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional, e vamos precisar usar a fórmula do produto vetorial para resolver isso. Então, vamos calcular cada produto vetorial, encontrar seu módulo (comprimento) e a direção, que geralmente é representada por um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores u = ux imath + uy jmath + uz k e v = vx imath + vy jmath + vz k é dada por:
u times v = imath & jmath & k ux & uy & uz vx & vy & vz
Vamos montar o determinante:
u times v = imath(uy vz - uz vy) - jmath(ux vz - uz vx) + k(ux vy - uy vx)
Substituindo os valores dos vetores u e v:
u = -8 imath - 2 jmath - 4 k
v = 2 imath + 2 jmath + k
Calculando cada componente:
  • Componente imath:
(-2)(1) - (-4)(2) = -2 + 8 = 6
  • Componente jmath:
(-8)(1) - (-4)(2) = -8 + 8 = 0
  • Componente k:
(-8)(2) - (-2)(2) = -16 + 4 = -12
Portanto,
u times v = 6 imath + 0 jmath - 12 k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial v times u. Sabemos que o produto vetorial é anti comutativo, ou seja:
v times u = - (u times v)
Então, simplesmente mudamos o sinal de cada componente de u times v:
v times u = -6 imath - 0 jmath + 12 k
Simplificando:
v times u = -6 imath + 12 k

Passo 4

Agora que temos os produtos vetoriais, vamos encontrar o comprimento (módulo) de cada um. A fórmula para o comprimento de um vetor a = ax imath + ay jmath + az k é:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Primeiro, para u times v = 6 imath + 0 jmath -12 k:
|u times v| = raiz6^2 + 0^2 + (-12)^2 = raiz36 + 0 + 144 = raiz180 = raiz36 times 5 = 6raiz5
Depois, para v times u = -6 imath + 12 k:
|v times u| = raiz(-6)^2 + 0^2 + 12^2 = raiz36 + 0 + 144 = raiz180 = 6raiz5

Passo 5

Agora, vamos determinar a direção de cada produto vetorial. A direção é dada pelo vetor unitário na mesma direção do vetor original, que é encontrado dividindo cada componente do vetor pelo seu comprimento.
Para u times v = 6 imath + 0 jmath -12 k:
Direção de u times v = 1|u times v| cdot (6 imath + 0 jmath -12 k) = 16raiz5 (6 imath -12 k) = 66raiz5 imath - 126raiz5 k = 1raiz5 imath - 2raiz5 k çã
Simplificando:
Direção de u times v = 1raiz5 imath - 2raiz5 k çã
Para v times u = -6 imath + 12 k:
Direção de v times u = 1|v times u| cdot (-6 imath + 12 k) = 16raiz5 (-6 imath + 12 k) = -66raiz5 imath + 126raiz5 k = -1raiz5 imath + 2raiz5 k çã
Simplificando:
Direção de v times u = -1raiz5 imath + 2raiz5 k çã

Resposta

O comprimento de ambos os produtos vetoriais u times v e v times u é 6raiz5 e suas direções são 1raiz5 imath - 2raiz5 k e -1raiz5 imath + 2raiz5 k, respectivamente.

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