Estude a posição relativa das retas r e s. Ou seja, diga se as retas são reversas, concorrentes ou paralelas. Se elas forem concorrentes, diga em qual ponto ocorre a interseção. Se elas forem paralelas, diga se elas são paralelas iguais ou paralelas distintas.
r: X=(2,-2,1)+lambda(5,3,4) e s:lx=1+3 lambda y=-3+3 lambda z=13+2 lambda

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em .
O conteúdo aqui é classificação de posições relativas de retas no espaço: vamos precisar extrair os vetores direção, verificar se são colineares (para checar paralelismo) e, caso não sejam, resolver um sistema para ver se há interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores direção e o vetor que liga um ponto de r a um ponto de s.
O vetor direção de r é v=(5,3,4) e de s é w=(3,3,2).
Para verificar se são paralelos, tentamos w=alphav.
Isso daria
(3,3,2)=alpha(5,3,4),
que exigiria alpha=3/5 da primeira coordenada e alpha=1 da segunda, o que é impossível.
Logo v e w não são colineares, ou seja, as retas não são paralelas (nem coincidentes).

Passo 3

Como não são paralelas, podem ser ou concorrentes ou reversas (escaro). Para checar se se cruzam, igualamos pontos genéricos:
(2+5t,,-2+3t,,1+4t)=(1+3u,,-3+3u,,tfrac13+2u)
Isto gera o sistema
2+5t=1+3u, -2+3t=-3+3u, 1+4t=tfrac13+2u
Das duas primeiras equações:
5t-3u=-1, 3t-3u=-1 ;Longrightarrow; 2t=0implies t=0, 3t-3u=-1implies u=tfrac13
Substituindo em 1+4t e tfrac13+2u obtemos 1=1, logo a terceira é satisfeita.

Passo 4

Concluímos que existe interseção única em
t=0implies Pr=(2,-2,1), u=tfrac13implies Ps=(2,-2,1)
Portanto as retas são concorrentes e se cruzam no ponto P=(2,-2,1).

Resposta

As retas são concorrentes, com interseção em (2,-2,1).

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