Estude quanto ao máximo ou mínimo as funções:
z=x y-1x-8y

Passo 1

O enunciado pede para estudar máximos e mínimos da função de duas variáveis
z = x,y - 1x - 8y,
cujo domínio é (x,y)mid xneq0,;yneq0. Para isso vamos usar o método de pontos críticos: calcular as derivadas parciais, igualá-las a zero, achar o ponto crítico, e então usar a matriz Hessiana para classificar o tipo de extremo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e impomos o sistema
partial zpartial x = y + 1x^2 =0, partial zpartial y = x + 8y^2 =0

Passo 3

Do primeiro temos y = -1/x^2. Substituindo no segundo:
x + 8(-1/x^2)^2 = x + 8,x^4 = 0 ;implies; x(1+8x^3)=0
Como xneq0, segue 1+8x^3=0, ou seja x^3=-tfrac18 e
x = -tfrac12, y = -1x^2 = -4

Passo 4

Calculamos as segundas derivadas no ponto (x,y)=(-tfrac12,-4):
fxx = -2x^3|x=-1/2=16, fyy = -16y^3|y=-4=tfrac14, fxy=1
O determinante da Hessiana é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 =16cdottfrac14 - 1 =3>0
Como D>0 e fxx>0, o ponto é um mínimo local.

Passo 5

O valor da função nesse ponto é
zl(-tfrac12,-4r) = (-tfrac12)(-4) - 1-tfrac12 - 8-4 =2 + 2 + 2 = 6

Resposta

A função tem um mínimo local em l(x,yr)=(-tfrac12,-4) com valor mínimo z=6.

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