Exercício 2 Calcular a integral
, sendo
a região delimitada por
e pela curva
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região em coordenadas cartesianas limitada por
e pela curva
.
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas retangulares: vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e depois resolvê-la passo a passo.
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas retangulares: vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e depois resolvê-la passo a passo.
Passo 2
Descrevemos
fixando
primeiro e
depois. Para cada
,
varia de
até
. Logo a integral fica
Passo 3
Calculemos a integral interna em
:
Passo 4
Substituindo na integral em
, obtemos
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica
logo
Passo 5
Agora integramos em
:
Avalia-mos em
: