Exercício 2 Calcular a integral integral duplaD y d A, sendo D a região delimitada por x=0, x=pi3, y=0 e pela curva y=cos x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD y,dA
onde D é a região em coordenadas cartesianas limitada por
;x=0,;x=pi3,;y=0 e pela curva y=cos x.
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas retangulares: vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e depois resolvê-la passo a passo.

Passo 2

Descrevemos D fixando x primeiro e y depois. Para cada xin[0,pi3], y varia de 0 até cos x. Logo a integral fica
integral duplaD y,dA =integralx=0^pi3 l(integraly=0^cos x y,dyr),dx

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
integraly=0^cos x y,dy =[tfrac12y^2]0^cos x =tfrac12l(cos xr)^2 =tfrac12cos^2x

Passo 4

Substituindo na integral em x, obtemos
integral0^pi3tfrac12cos^2x,dx =tfrac12integral0^pi3cos^2x,dx
Para integrar cos^2x, usamos a identidade trigonométrica
cos^2x=1+cos(2x)2,
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tfrac12integral0^pi3cos^2x,dx =tfrac12integral0^pi31+cos(2x)2,dx =tfrac14integral0^pi3l(1+cos(2x)r),dx

Passo 5

Agora integramos em x:
tfrac14integral0^pi31,dx +tfrac14integral0^pi3cos(2x),dx =tfrac14l[xr]0^pi3 +tfrac14l[tfrac12sin(2x)r]0^pi3
Avalia-mos em x=pi3:
tfrac14l(tfracpi3r) +tfrac14l(tfrac12sinl(tfrac2pi3r)r) =tfracpi12 +tfrac14cdottfrac12cdottfracraiz32 =tfracpi12+tfracraiz316

Resposta

integral duplaDy,dA =pi12+raiz316

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