Estude quanto ao máximo ou mínimo as funções:
z=6 x^3 y^2-x^4 y^2-x^3 y^3, D=(x, y, z) in R+^3

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = f(x,y) ;=; 6x^3y^2 ;-; x^4y^2 ;-; x^3y^3
definida para x>0 e y>0. Queremos estudar extremos locais (máximos ou mínimos), então vamos calcular as derivadas parciais, encontrar pontos críticos e usar o teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeiro ordem:
fx = partialpartial x(6x^3y^2 - x^4y^2 - x^3y^3) = x^2y^2,(18 - 4x - 3y),
fy = partialpartial y(6x^3y^2 - x^4y^2 - x^3y^3) = x^3y,(12 - 2x - 3y)
Para pontos críticos em x>0,y>0 precisamos de
fx = 0, fy = 0 Longrightarrow 18 - 4x - 3y = 0, 12 - 2x - 3y = 0

Passo 3

Resolvendo
18 - 4x - 3y = 0, 12 - 2x - 3y = 0
subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
6 - 2x = 0 ;implies; x = 3
Substituindo em 12 - 2x - 3y = 0
12 - 2cdot3 - 3y = 0 ;implies; 6 - 3y = 0 ;implies; y = 2
Assim o único ponto crítico no domínio é (3,2).

Passo 4

Agora as segundas derivadas:
fxx = 2x,y^2,(18 - 4x - 3y);-;4x^2y^2, fyy = x^3,(12 - 2x - 3y);-;3x^3y,
fxy = 2x^2y,(18 - 4x - 3y);-;3x^2y^2
No ponto (3,2) isso resulta em
fxx(3,2) = -144, fyy(3,2) = -162, fxy(3,2) = -108

Passo 5

O determinante do Hessiano em (3,2) vale
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (-144)(-162) - (-108)^2 = 11664 ;>;0
Como fxx(3,2)<0, concluímos que (3,2) é um máximo local. Observando ainda que para xto0 ou yto0 temos fto0 e para x,ytoinfty temos fto -infty, não existe mínimo (nem local nem global).

Passo 6

O valor de z nesse ponto é
z = 6cdot3^3cdot2^2 ;-; 3^4cdot2^2 ;-; 3^3cdot2^3 = 108

Resposta

A função tem um único ponto crítico em (x,y)=(3,2), que é um máximo local (valor z=108). Não existe mínimo.

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