Exercício 4 Encontre, utilizando integração dupla, a área da região plana limitada pelas curvas y=4-x^2 e y=(x-2)^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas ,y=4-x^2 e ,y=(x-2)^2 usando integração dupla. Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção, ver qual curva é superior e, em seguida, montar a integral dupla integral duplaRdA.

Passo 2

Igualamos as duas expressões para achar as abscissas de interseção:
4 - x^2 = (x-2)^2
Expandindo e reorganizando, temos
4 - x^2 = x^2 - 4x + 4 Longrightarrow 2x^2 - 4x = 0 Longrightarrow 2x(x - 2) = 0,
logo x=0 ou x=2. Os pontos de interseção são (0,4) e (2,0).

Passo 3

Para decidir qual curva está por cima em 0<x<2, teste x=1:
;4 - 1^2 = 3 e (1-2)^2 = 1.
Logo, ,y=4-x^2 é a curva superior e ,y=(x-2)^2 é a inferior nesse intervalo.

Passo 4

Podemos escrever a área como
A = integralx=0^2integraly=(x-2)^2^,y=4-x^2 d y,d x

Passo 5

Primeiro integramos em y:
integraly=(x-2)^2^,y=4-x^2 d y = l(4 - x^2r) - l(x-2r)^2 =4 - x^2 - l(x^2-4x+4r) =-2x^2 +4x

Passo 6

Agora integramos em x:
A = integral0^2 l(-2x^2+4xr),d x = [-tfrac23x^3 +2x^2]0^2 = l(-tfrac163+8r) - 0 = tfrac83

Resposta

tfrac83

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