O enunciado pede para estudar os extremos da função de duas variáveis
O conteúdo necessário envolve derivadas parciais para encontrar pontos críticos e o teste da Hessiana para classificá-los. O domínio natural é
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Da primeira equação segue . Da segunda segue . Substituindo uma na outra obtém-se
e daí e . Logo há um único ponto crítico .
Passo 3
Para classificar usamos a matriz Hessiana
Em (2,2) temos
zxx(2,2)=2, zyy(2,2)=2, det H(2,2)=2cdot2-1^2=3>0
Como zxx(2,2)>0 e det H(2,2)>0, o ponto (2,2) é um mínimo local.]
Passo 4
Analisando o comportamento em xto0, yto0 ou x,ytopminfty, o termo tfrac8x ou tfrac8y explode e xy também tende a pminfty. Portanto não há máximos e o mínimo em (2,2) é global no domínio.
Resposta
O único extremo da função é um mínimo global em (x,y)=(2,2), com valor mínimo