Estude quanto ao máximo ou mínimo as funções:
z=x y+8x+8y

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos da função de duas variáveis
z(x,y)=xy+8x+8y
O conteúdo necessário envolve derivadas parciais para encontrar pontos críticos e o teste da Hessiana para classificá-los. O domínio natural é
D = (x,y)inR^2 mid xneq0,;yneq0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial zpartial x = y - 8x^2 =0, partial zpartial y = x - 8y^2 =0
Da primeira equação segue y=tfrac8x^2. Da segunda segue x=tfrac8y^2. Substituindo uma na outra obtém-se
x,y=4,
e daí x=2 e y=2. Logo há um único ponto crítico (2,2).

Passo 3

Para classificar usamos a matriz Hessiana
H = zxx & zxy [6pt] zyx & zyy = 16x^3 & 1 [6pt] 1 & 16y^3
Em (2,2) temos
zxx(2,2)=2, zyy(2,2)=2, det H(2,2)=2cdot2-1^2=3>0
Como zxx(2,2)>0 e det H(2,2)>0, o ponto (2,2) é um mínimo local.]

Passo 4

Analisando o comportamento em xto0, yto0 ou x,ytopminfty, o termo tfrac8x ou tfrac8y explode e xy também tende a pminfty. Portanto não há máximos e o mínimo em (2,2) é global no domínio.

Resposta

O único extremo da função é um mínimo global em (x,y)=(2,2), com valor mínimo
z(2,2)=12

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