Estude a regularidade das funções curvatura das seguintes curvas planas
:
Passo 1
O enunciado dá a curva plana
e pede para estudar a regularidade da função curvatura associada a essa curva. Vou listar claramente o que se pede e as informações que temos:
- Dado:
é uma constante real (não foi especificado que seja nula; se a curva é degenerada). - Precisamos estudar a curvatura
: onde ela está definida, se é contínua e diferenciável, comportamento em e regularidade em intervalos onde estiver definida. - Informação útil que já se vê no enunciado: as componentes são combinações de funções trigonométricas e polinomiais em
, então as derivadas podem ser calculadas por regras usuais (derivada de produto, de seno/cosseno).
Passo 2
Vou calcular as derivadas primeiras componente a componente, explicando cada passo. Escrevo as componentes como
Derivo termo a termo usando que
,
e a regra do produto
.
Portanto
Portanto
Assim a velocidade (vetor derivada) é
Passo 3
Agora calculo o módulo da velocidade (speed) e discuto regularidade da parametrização. O módulo é
Interpretação:
exatamente quando
(assumindo
). Logo a curva é regular para
e apresenta uma singularidade (ponto crítico da parametrização) em
. Consequência importante: a curvatura clássica
só pode ser definida por meio das derivadas até a segunda ordem nos pontos onde a curva é regular; assim aguardamos que
não seja definida em
.
Passo 4
Calculo a segunda derivada, novamente passo a passo. A partir de
e
, aplico a regra do produto:
Então
Passo 5
Agora apresento a fórmula da curvatura para curvas planas parametrizadas arbitrariamente e explico cada termo. Para
a curvatura
(magnitude da curvatura, valor não negativo) é dada por
Aqui:
-
são componentes da velocidade; -
são componentes da aceleração; - o determinante
mede a “rotação” do par (velocidade, aceleração) e, dividido pela velocidade ao cubo, produz a curvatura geométrica.
Vou calcular explicitamente o numerador (determinante) e o denominador usando as derivadas já obtidas. Primeiro o numerador:
O denominador é, como já achamos para a velocidade,
Logo a curvatura (magnitude) para
é
Observação sobre sinal: o determinante veio positivo
, e o denominador é positivo, por isso a curvatura orientada (com sinal) tem sinal igual ao sinal de
dividido por
— mas a curvatura usualmente considerada é a magnitude positiva acima. Se preferir a curvatura assinada (com orientação), pode-se escrever
onde
. Para evitar confusão, vou trabalhar com a curvatura positiva
Passo 6
Estudo de regularidade da função
:
- Domínio:
está definida apenas para (porque e a fórmula precisa de divisão por ). - Continuidade: em qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo ou ), a função é suave (infinitamente diferenciável) porque ali coincide com sem mudança de valor absoluto. Logo e . - Comportamento na vizinhança de
: como temos . Portanto não é limitada perto de e não admite extensão contínua finita em . - Paridade:
depende só de , logo é uma função par (mesmo), com o mesmo valor em e . - Diferenciabilidade em todo o domínio: embora
seja em cada lado de , ela não se estende a nem mesmo de maneira contínua, e portanto não é possível falar em derivadas no ponto .
Passo 7
Interpretação geométrica e comentário final para a prova (dica prática): a curva dada é a involuta da circunferência (ou uma forma muito próxima), e o fato de a velocidade ser proporcional a
faz com que a curvatura escale como
. Em provas, ao ver
imediatamente suspeite de ponto singular em
e calcule o determinante
que frequentemente simplifica por identidade trigonométrica como aqui.
Resposta
A curvatura não está definida em