Estude a regularidade das funções curvatura das seguintes curvas planas \alpha_{i}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, i=1,2,3,4 :
\alpha_{1}(t)=a(\cos t+t \operatorname{sen} t, \operatorname{sen} t-t \cos t)

Passo 1

O enunciado dá a curva plana
\alpha_{1}(t)=a\bigl(\cos t + t\sin t,\;\sin t - t\cos t\bigr)
e pede para estudar a regularidade da função curvatura associada a essa curva. Vou listar claramente o que se pede e as informações que temos:
  • Dado: a é uma constante real (não foi especificado que seja nula; se a=0 a curva é degenerada).
  • Precisamos estudar a curvatura \kappa(t): onde ela está definida, se é contínua e diferenciável, comportamento em t=0 e regularidade em intervalos onde estiver definida.
  • Informação útil que já se vê no enunciado: as componentes são combinações de funções trigonométricas e polinomiais em t, então as derivadas podem ser calculadas por regras usuais (derivada de produto, de seno/cosseno).

Passo 2

Vou calcular as derivadas primeiras componente a componente, explicando cada passo. Escrevo as componentes como
x(t)=a\bigl(\cos t + t\sin t\bigr),\qquad y(t)=a\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).
Derivo termo a termo usando que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e a regra do produto \dfrac{d}{dt}(t\sin t)=\sin t+t\cos t.
Portanto
x'(t)=a\bigl(-\sin t + (\sin t + t\cos t)\bigr)=a\,t\cos t,
y'(t)=a\bigl(\cos t - (\cos t - t\sin t)\bigr)=a\,t\sin t.
Assim a velocidade (vetor derivada) é
\alpha_1'(t)=a\,t\bigl(\cos t,\;\sin t\bigr).

Passo 3

Agora calculo o módulo da velocidade (speed) e discuto regularidade da parametrização. O módulo é
\lVert\alpha_1'(t)\rVert=\sqrt{(a t\cos t)^2+(a t\sin t)^2} =\sqrt{a^{2}t^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)} =|a|\,|t|.
Interpretação: \lVert\alpha_1'(t)\rVert=0 exatamente quando t=0 (assumindo a\neq0). Logo a curva é regular para t\neq0 e apresenta uma singularidade (ponto crítico da parametrização) em t=0. Consequência importante: a curvatura clássica \kappa(t) só pode ser definida por meio das derivadas até a segunda ordem nos pontos onde a curva é regular; assim aguardamos que \kappa não seja definida em t=0.

Passo 4

Calculo a segunda derivada, novamente passo a passo. A partir de x'(t)=a t\cos t e y'(t)=a t\sin t, aplico a regra do produto:
x''(t)=a\bigl(\cos t - t\sin t\bigr),
y''(t)=a\bigl(\sin t + t\cos t\bigr).
Então
\alpha_1''(t)=a\bigl(\cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t\bigr).

Passo 5

Agora apresento a fórmula da curvatura para curvas planas parametrizadas arbitrariamente e explico cada termo. Para \alpha(t)=(x(t),y(t)) a curvatura \kappa(t) (magnitude da curvatura, valor não negativo) é dada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Aqui:
  • x'(t),y'(t) são componentes da velocidade;
  • x''(t),y''(t) são componentes da aceleração;
  • o determinante x'y''-y'x'' mede a “rotação” do par (velocidade, aceleração) e, dividido pela velocidade ao cubo, produz a curvatura geométrica.
Vou calcular explicitamente o numerador (determinante) e o denominador usando as derivadas já obtidas. Primeiro o numerador:
\begin{aligned} x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t) &= \bigl(a t\cos t\bigr)\cdot a\bigl(\sin t + t\cos t\bigr) - \bigl(a t\sin t\bigr)\cdot a\bigl(\cos t - t\sin t\bigr)\\[4pt] &= a^{2}t\Bigl(\cos t(\sin t+t\cos t)-\sin t(\cos t-t\sin t)\Bigr)\\[4pt] &= a^{2}t\Bigl(\cos t\sin t+t\cos^{2}t-\sin t\cos t+t\sin^{2}t\Bigr)\\[4pt] &= a^{2}t\bigl(t(\cos^{2}t+\sin^{2}t)\bigr)=a^{2}t^{2}. \end{aligned}
O denominador é, como já achamos para a velocidade,
\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}=\bigl(a^{2}t^{2}\bigr)^{3/2}=|a|^{3}|t|^{3}.
Logo a curvatura (magnitude) para t\neq0 é
\kappa(t)=\frac{|a^{2}t^{2}|}{|a|^{3}|t|^{3}}=\frac{a^{2}t^{2}}{|a|^{3}|t|^{3}}=\frac{1}{|a|\,|t|}.
Observação sobre sinal: o determinante veio positivo a^{2}t^{2}\ge0, e o denominador é positivo, por isso a curvatura orientada (com sinal) tem sinal igual ao sinal de a dividido por |a| — mas a curvatura usualmente considerada é a magnitude positiva acima. Se preferir a curvatura assinada (com orientação), pode-se escrever
\kappa_{\text{assinada}}(t)=\frac{a^{2}t^{2}}{|a|^{3}|t|^{3}}=\frac{\operatorname{sgn}(a)}{|a|\,|t|}=\frac{1}{a\,|t|},
onde \operatorname{sgn}(a)=a/|a|. Para evitar confusão, vou trabalhar com a curvatura positiva
\kappa(t)=\frac{1}{|a|\,|t|},\qquad t\neq0.]

Passo 6

Estudo de regularidade da função \kappa(t):
  • Domínio: \kappa(t) está definida apenas para t\neq0 (porque \alpha'\!(0)=0 e a fórmula precisa de divisão por \lVert\alpha'\rVert^{3}).
  • Continuidade: em qualquer intervalo que não contenha 0 (por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0)), a função \kappa(t)=1/(|a|\,|t|) é suave (infinitamente diferenciável) porque ali |t| coincide com \pm t sem mudança de valor absoluto. Logo \kappa\in C^{\infty}((0,\infty)) e \kappa\in C^{\infty}((-\infty,0)).
  • Comportamento na vizinhança de 0: como |t|\to0^{+} temos \kappa(t)\to+\infty. Portanto \kappa não é limitada perto de 0 e não admite extensão contínua finita em t=0.
  • Paridade: \kappa(t) depende só de |t|, logo é uma função par (mesmo), com o mesmo valor em t e -t.
  • Diferenciabilidade em todo o domínio: embora \kappa seja C^{\infty} em cada lado de 0, ela não se estende a t=0 nem mesmo de maneira contínua, e portanto não é possível falar em derivadas no ponto 0.

Passo 7

Interpretação geométrica e comentário final para a prova (dica prática): a curva dada é a involuta da circunferência (ou uma forma muito próxima), e o fato de a velocidade ser proporcional a t faz com que a curvatura escale como 1/|t|. Em provas, ao ver \alpha'(t)=a t(\cos t,\sin t) imediatamente suspeite de ponto singular em t=0 e calcule o determinante x'y''-y'x'' que frequentemente simplifica por identidade trigonométrica como aqui.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{1}{|a|\,|t|},\quad t\neq0.
A curvatura não está definida em t=0.
\kappa é C^{\infty} em (0,\infty) e em (-\infty,0), e \kappa(t)\to+\infty quando t\to0.

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