Calcule a função curvatura da curva \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \alpha(t)=\left(a e^{b t} \cos t, a e^{b t} \operatorname{sen} t\right).
Passo 1
O enunciado dá a curva \alpha:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 definida por
\alpha(t)=\bigl(a e^{b t}\cos t,\; a e^{b t}\sin t\bigr),
onde a e b são constantes reais (o enunciado não diz o sinal de a). A pergunta é: calcular a função curvatura \kappa(t) dessa curva, isto é, a curvatura em função do parâmetro t.
Informações relevantes que temos:
As componentes são x(t)=a e^{b t}\cos t e y(t)=a e^{b t}\sin t.
Precisaremos das derivadas primeiras e segundas de x e y para aplicar a fórmula da curvatura no plano.
Deve-se lembrar que a curvatura é uma quantidade não negativa; se a for negativo isso aparece por meio de valor absoluto quando surgirem normas/velocidades.
Passo 2
Breve explicação da fórmula que vou usar (aula rapidinha sobre curvatura no plano).
Para uma curva plana parametrizada por coordenadas x(t),y(t) com derivadas até segunda ordem e velocidade não nula, uma fórmula prática da curvatura é
O numerador \bigl|x'y''-y'x''\bigr| é o valor absoluto do determinante das derivadas, geometricamente relacionado ao módulo do produto vetorial entre \alpha' e \alpha'' (medida de “quanto” a direção está girando).
O denominador \bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2} é a velocidade ao cubo; ele normaliza o numerador para obter uma quantidade independente da parametrização por velocidade.
Vou calcular x',y',x'',y'', depois o determinante e a velocidade, e finalmente substituir nessa fórmula.
Passo 3
Calcular as derivadas primeiras usando regra do produto e derivadas trigonométricas.
As componentes são x(t)=a e^{b t}\cos t e y(t)=a e^{b t}\sin t. Logo
x'(t)=a\frac{d}{dt}\bigl(e^{bt}\bigr)\cos t + a e^{bt}\frac{d}{dt}(\cos t)
x'(t)=a\bigl(b e^{bt}\cos t - e^{bt}\sin t\bigr)=a e^{bt}\bigl(b\cos t-\sin t\bigr).
Analogamente,
y'(t)=a\frac{d}{dt}\bigl(e^{bt}\bigr)\sin t + a e^{bt}\frac{d}{dt}(\sin t)
y'(t)=a\bigl(b e^{bt}\sin t + e^{bt}\cos t\bigr)=a e^{bt}\bigl(b\sin t+\cos t\bigr).
Passo 4
Calcular as derivadas segundas. É conveniente fatorar a e^{bt} e usar que (e^{bt})'=b e^{bt}.
Para x'(t)=a e^{bt}u(t) com u(t)=b\cos t-\sin t,
Observações finais rápidas: \kappa(t) é sempre positiva (ou zero se a=+\infty não faz sentido; aqui para a\neq0 obtém-se \kappa(t)>0). Se a>0 pode-se escrever sem o valor absoluto: \kappa(t)=\dfrac{1}{a e^{bt}\sqrt{b^2+1}}.