Calcule a função curvatura da curva \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \alpha(t)=\left(a e^{b t} \cos t, a e^{b t} \operatorname{sen} t\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 definida por
\alpha(t)=\bigl(a e^{b t}\cos t,\; a e^{b t}\sin t\bigr),
onde a e b são constantes reais (o enunciado não diz o sinal de a). A pergunta é: calcular a função curvatura \kappa(t) dessa curva, isto é, a curvatura em função do parâmetro t.
Informações relevantes que temos:
  • As componentes são x(t)=a e^{b t}\cos t e y(t)=a e^{b t}\sin t.
  • Precisaremos das derivadas primeiras e segundas de x e y para aplicar a fórmula da curvatura no plano.
  • Deve-se lembrar que a curvatura é uma quantidade não negativa; se a for negativo isso aparece por meio de valor absoluto quando surgirem normas/velocidades.

Passo 2

Breve explicação da fórmula que vou usar (aula rapidinha sobre curvatura no plano).
  • Para uma curva plana parametrizada por coordenadas x(t),y(t) com derivadas até segunda ordem e velocidade não nula, uma fórmula prática da curvatura é
\kappa(t)=\frac{\bigl|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
  • O numerador \bigl|x'y''-y'x''\bigr| é o valor absoluto do determinante das derivadas, geometricamente relacionado ao módulo do produto vetorial entre \alpha' e \alpha'' (medida de “quanto” a direção está girando).
  • O denominador \bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2} é a velocidade ao cubo; ele normaliza o numerador para obter uma quantidade independente da parametrização por velocidade.
  • Vou calcular x',y',x'',y'', depois o determinante e a velocidade, e finalmente substituir nessa fórmula.

Passo 3

Calcular as derivadas primeiras usando regra do produto e derivadas trigonométricas.
As componentes são x(t)=a e^{b t}\cos t e y(t)=a e^{b t}\sin t. Logo
x'(t)=a\frac{d}{dt}\bigl(e^{bt}\bigr)\cos t + a e^{bt}\frac{d}{dt}(\cos t)
x'(t)=a\bigl(b e^{bt}\cos t - e^{bt}\sin t\bigr)=a e^{bt}\bigl(b\cos t-\sin t\bigr).
Analogamente,
y'(t)=a\frac{d}{dt}\bigl(e^{bt}\bigr)\sin t + a e^{bt}\frac{d}{dt}(\sin t)
y'(t)=a\bigl(b e^{bt}\sin t + e^{bt}\cos t\bigr)=a e^{bt}\bigl(b\sin t+\cos t\bigr).

Passo 4

Calcular as derivadas segundas. É conveniente fatorar a e^{bt} e usar que (e^{bt})'=b e^{bt}.
Para x'(t)=a e^{bt}u(t) com u(t)=b\cos t-\sin t,
x''(t)=a\bigl(b e^{bt}u(t)+e^{bt}u'(t)\bigr)=a e^{bt}\bigl(bu(t)+u'(t)\bigr).
Como u'(t)=-b\sin t-\cos t, então
x''(t)=a e^{bt}\bigl(b(b\cos t-\sin t)-b\sin t-\cos t\bigr).
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
x''(t)=a e^{bt}\bigl((b^2-1)\cos t-2b\sin t\bigr).
Para y'(t)=a e^{bt}v(t) com v(t)=b\sin t+\cos t,
y''(t)=a e^{bt}\bigl(bv(t)+v'(t)\bigr),
e v'(t)=b\cos t-\sin t, então
y''(t)=a e^{bt}\bigl((b^2-1)\sin t+2b\cos t\bigr).
Resumo das derivadas obtidas:
x'(t)=a e^{bt}\bigl(b\cos t-\sin t\bigr), \quad y'(t)=a e^{bt}\bigl(b\sin t+\cos t\bigr),
x''(t)=a e^{bt}\bigl((b^2-1)\cos t-2b\sin t\bigr), \quad y''(t)=a e^{bt}\bigl((b^2-1)\sin t+2b\cos t\bigr).

Passo 5

Calcular o numerador N(t)=x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t). Fatorando o comum (a e^{bt})^2:
N(t)=(a e^{bt})^2\Bigl[(b\cos t-\sin t)\bigl((b^2-1)\sin t+2b\cos t\bigr) -(b\sin t+\cos t)\bigl((b^2-1)\cos t-2b\sin t\bigr)\Bigr].
Agora expandir e simplificar o colchete (faça passo a passo):
  • Expansão dos termos e reorganização em \cos^2 t,\sin^2 t,\sin t\cos t leva a vários cancelamentos (os termos com \sin t\cos t se anulam).
  • O resultado da simplificação é um termo constante, sem dependência trigonométrica:
(b\cos t-\sin t)\bigl((b^2-1)\sin t+2b\cos t\bigr) -(b\sin t+\cos t)\bigl((b^2-1)\cos t-2b\sin t\bigr)=b^2+1.
Portanto
N(t)=(a e^{bt})^2(b^2+1)=a^2 e^{2bt}(b^2+1).
Como a^2 e^{2bt}(b^2+1)>0 para todo t (exceto o caso trivial a=0), o valor absoluto no numerador será simplesmente esse valor positivo.

Passo 6

Calcular o denominador: velocidade ao cubo. Primeiro a velocidade ao quadrado
V^2(t)=x'(t)^2+y'(t)^2=(a e^{bt})^2\Bigl[(b\cos t-\sin t)^2+(b\sin t+\cos t)^2\Bigr].
Expansão do colchete:
(b\cos t-\sin t)^2+(b\sin t+\cos t)^2 =b^2(\cos^2 t+\sin^2 t)+(\sin^2 t+\cos^2 t)+\text{termos mistos que se anulam}=b^2+1.
Logo
V^2(t)=(a e^{bt})^2(b^2+1).
A velocidade (módulo de \alpha') é
V(t)=\sqrt{V^2(t)}=|a| e^{bt}\sqrt{b^2+1}.
Portanto o denominador da fórmula da curvatura é
\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}=V(t)^3=|a|^3 e^{3bt}(b^2+1)^{3/2}.

Passo 7

Agora substituímos numerador e denominador na fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\bigl|N(t)\bigr|}{\bigl(V^2(t)\bigr)^{3/2}} =\frac{a^2 e^{2bt}(b^2+1)}{|a|^3 e^{3bt}(b^2+1)^{3/2}}.
Simplificando fatores:
\kappa(t)=\frac{1}{|a| e^{bt}\sqrt{b^2+1}}.
Observações finais rápidas: \kappa(t) é sempre positiva (ou zero se a=+\infty não faz sentido; aqui para a\neq0 obtém-se \kappa(t)>0). Se a>0 pode-se escrever sem o valor absoluto: \kappa(t)=\dfrac{1}{a e^{bt}\sqrt{b^2+1}}.

Resposta

\kappa(t)=\frac{1}{|a|\,e^{bt}\sqrt{b^{2}+1}}.

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