Estude com relação a extremantes globais e locais a função
,
Passo 1
Estamos estudando os extremos locais e globais da função de duas variáveis
. Para isso vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos, depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto e, por fim, analisar o comportamento global da função.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais. Temos:
Passo 3
Achamos pontos críticos resolvendo
e
. Isso gera o sistema:
Passo 4
Resolvendo:
- Se
e ⇒ ponto . - Se
e ⇒ ⇒ , . - Se
e ⇒ ⇒ , . - Se
e com . Subtraindo as equações vem , logo . Substituindo em, por exemplo, dá , assim , . Isso gera os pontos .
Passo 5
A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
Passo 6
Para classificar, em cada ponto crítico calculamos
- Em
- Em
- Em
- Em
Passo 7
Finalmente, como
é polinomial de grau 4 misturado com termos de grau 2 e alterna sinais, ela vai a
e
quando
crescem em certas direções. Logo não há extremos globais.
Resposta
Pontos críticos e classificação local:
(0,0), (±1,0), (0,±1) → todos sela;
(±1/2,±1/2) com xy>0 → mínimo local (valor f=−1/8);
(±1/2,±1/2) com xy<0 → máximo local (valor f=1/8).
Não existem extremos globais.
(0,0), (±1,0), (0,±1) → todos sela;
(±1/2,±1/2) com xy>0 → mínimo local (valor f=−1/8);
(±1/2,±1/2) com xy<0 → máximo local (valor f=1/8).
Não existem extremos globais.