Estude com relação a extremantes globais e locais a função f(x, y)=
x y^3+x^3 y-x y,

Passo 1

Estamos estudando os extremos locais e globais da função de duas variáveis f(x,y)=x y^3+x^3y - x y. Para isso vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos, depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto e, por fim, analisar o comportamento global da função.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais. Temos:
fx(x,y)=partialpartial x(x y^3+x^3y - x y)=y^3 +3x^2 y - y=yl(y^2+3x^2-1r),
fy(x,y)=partialpartial y(x y^3+x^3y - x y)=3x y^2 +x^3 -x = xl(x^2+3y^2-1r)

Passo 3

Achamos pontos críticos resolvendo fx=0 e fy=0. Isso gera o sistema:
y(y^2+3x^2-1)=0,
x(x^2+3y^2-1)=0

Passo 4

Resolvendo:
  • Se x=0 e y=0 ⇒ ponto (0,0).
  • Se x=0 e y^2+3cdot0^2-1=0 y=pm1 (0,1), (0,-1).
  • Se y=0 e x^2+3cdot0^2-1=0 x=pm1 (1,0), (-1,0).
  • Se y^2+3x^2-1=0 e x^2+3y^2-1=0 com xneq0,yneq0. Subtraindo as equações vem x^2=y^2, logo y=pm x. Substituindo em, por exemplo, 3x^2+y^2=1 4x^2=1, assim x=pmtfrac12, y=pm x. Isso gera os pontos (pmtfrac12,pmtfrac12).

Passo 5

A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y)=fxx&fxyfyx&fyy, onde
fxx=6xy, fyy=6xy, fxy=fyx=3(x^2+y^2)-1

Passo 6

Para classificar, em cada ponto crítico calculamos
D=det H=fxxfyy-fxy^2=(6xy)^2-[3(x^2+y^2)-1]^2 e observamos o sinal de fxx.
- Em (0,0), temos D=-1<0 ⇒ sela.
- Em (pm1,0) e (0,pm1), vem D=-4<0 ⇒ sela.
- Em (1/2,1/2) e (-1/2,-1/2), vem D=2>0 e fxx=1,5>0 ⇒ mínimo local.
- Em (1/2,-1/2) e (-1/2,1/2), vem D=2>0 e fxx=-1,5<0 ⇒ máximo local.

Passo 7

Finalmente, como f(x,y) é polinomial de grau 4 misturado com termos de grau 2 e alterna sinais, ela vai a +infty e -infty quando x,y crescem em certas direções. Logo não há extremos globais.

Resposta

Pontos críticos e classificação local:
(0,0), (±1,0), (0,±1) → todos sela;
(±1/2,±1/2) com xy>0 → mínimo local (valor f=−1/8);
(±1/2,±1/2) com xy<0 → máximo local (valor f=1/8).
Não existem extremos globais.

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