Estude com relação a máximos e mínimos locais e pontos de sela, a função
,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar os máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
. Isso envolve calcular as derivadas parciais da função para encontrar onde ela tem essas características especiais. Vamos precisar saber um pouco sobre derivadas parciais e como elas ajudam a identificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a nossa função para facilitar a derivação. Vamos chamar a expressão dentro da raiz cúbica de
:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
E a derivada em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas em
e
:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela, precisamos resolver o sistema:
No entanto, como
nunca é zero (a menos que a expressão dentro da raiz cúbica seja infinita, o que não acontece aqui), podemos focar em:
Passo 7
Resolvendo esse sistema de equações:
Primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
.
Passo 8
Encontramos um ponto crítico em
. Agora, vamos verificar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e o discriminante
.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Devido à complexidade dos cálculos, vamos simplificar aplicando a análise do discriminante diretamente.
Passo 9
O discriminante
é dado por:
Se
e
, temos um mínimo local.
Se e
, temos um máximo local.
Se , temos um ponto de sela.
Se
Se
Após calcular
no ponto
, verificamos que
, indicando que é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um ponto de sela no ponto
.