Estude com relação a extremantes globais e locais a função
Passo 1
O enunciado pede para estudar os extremos locais e globais da função de duas variáveis
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável: gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente de
. As derivadas parciais são:
Para pontos críticos temos o sistema
Dessas equações vêm as soluções
ou
, e o mesmo para
.
Passo 3
Os pontos críticos são todas as combinações de
com
. Isso dá 9 pontos:
Passo 4
Para classificar cada ponto usamos a Hessiana de
, que é diagonal:
No ponto
Nos pontos
Em
Passo 5
Para ver quais são globais, avaliamos
nos pontos críticos:
Como
Resposta
Máximo local em (0,0); pontos de sela em (±1/√2,0) e (0,±1/√2); mínimos locais e globais em (±1/√2,±1/√2), com valor mínimo f=−1/2. Não há máximo global.