Estude com relação a extremantes globais e locais a função f(x, y)=
x^4+y^4-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos locais e globais da função de duas variáveis f(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável: gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são:
fx=4x^3-2x=2x(2x^2-1),
fy=4y^3-2y=2y(2y^2-1)
Para pontos críticos temos o sistema fx=0 e fy=0, ou seja,
2x(2x^2-1)=0, 2y(2y^2-1)=0
Dessas equações vêm as soluções x=0 ou x=pm1/raiz2, e o mesmo para y.

Passo 3

Os pontos críticos são todas as combinações de x=0,pm1/raiz2 com y=0,pm1/raiz2. Isso dá 9 pontos:
(0,0),;(pm1/raiz2,0),;(0,pm1/raiz2),;(pm1/raiz2,pm1/raiz2)

Passo 4

Para classificar cada ponto usamos a Hessiana de f, que é diagonal:
fxx=12x^2-2, fyy=12y^2-2, fxy=0
No ponto (0,0) temos fxx=fyy=-2<0, então Hessiana negativa definida → máximo local.
Nos pontos (pm1/raiz2,0) aparece fxx=4>0 e fyy=-2<0 → valores de sinais opostos → ponto de sela (e o mesmo raciocínio vale para (0,pm1/raiz2)).
Em (pm1/raiz2,pm1/raiz2) temos fxx=fyy=4>0 → Hessiana positiva definida → mínimo local.

Passo 5

Para ver quais são globais, avaliamos f nos pontos críticos:
f(0,0)=0, f(pm1/raiz2,0)=f(0,pm1/raiz2)=-tfrac14, f(pm1/raiz2,pm1/raiz2)=-tfrac12
Como f(x,y)to+infty quando |(x,y)|toinfty, não há máximo global. Já o valor mínimo global é -1/2, atingido nos quatro pontos (pm1/raiz2,pm1/raiz2).

Resposta

Máximo local em (0,0); pontos de sela em (±1/√2,0) e (0,±1/√2); mínimos locais e globais em (±1/√2,±1/√2), com valor mínimo f=−1/2. Não há máximo global.

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