Estude com relação a máximos e mínimos locais e a pontos de sela a função f(x, y, z)=
x^2+5 y^2+2 z^2+4 x y-2 x-4 y-8 z+2,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente estudar os máximos, mínimos locais e pontos de sela da função . Para isso, vamos usar o cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais e o teste da derivada segunda. Vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e analisar a matriz Hessiana para determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x + 4y - 2 em relação a cada variável partial fpartial y = 10y + 4x - 4 , partial fpartial z = 4z - 8 e . As derivadas parciais são essenciais porque nos ajudam a identificar onde a inclinação da função é zero, ou seja, os pontos críticos.

Passo 3

Agora, vamos igualar cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
2x + 4y - 2 = 0 (1)
10y + 4x - 4 = 0 (2)
4z - 8 = 0 (3)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 4z - 8 = 0 Rightarrow z = 2 , 2x + 4y = 2 Rightarrow x + 2y = 1 (1a) e 4x + 10y = 4 Rightarrow 2x + 5y = 2 (2a) .
Da equação (3):
2x + 4y = 2 (1b)
Agora, vamos resolver as equações (1) e (2) para (2x + 4y) - (2x + 5y) = 2 - 2 Rightarrow -y = 0 Rightarrow y = 0 e x + 2(0) = 1 Rightarrow x = 1 :
Pela equação (1):
Pela equação (2):
Agora, podemos resolver o sistema formado por (1a) e (2a). Vamos multiplicar a equação (1a) por 2:
Subtraindo a equação (2a) da (1b):
Substituindo na equação (1a):
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Com os pontos críticos encontrados, vamos analisar a natureza desse ponto usando a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função partial^2 fpartial x^2 = 2 .
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
partial^2 fpartial y^2 = 10
partial^2 fpartial z^2 = 4
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x = 4
partial^2 fpartial x partial z = partial^2 fpartial z partial x = 0
partial^2 fpartial y partial z = partial^2 fpartial z partial y = 0
H = 2 & 4 & 0 4 & 10 & 0 0 & 0 & 4
Assim, a matriz Hessiana é:

Passo 5

Para determinar a natureza do ponto crítico, precisamos verificar se a matriz Hessiana é definida positiva, definida negativa ou indefinida. Uma matriz Hessiana é definida positiva se todos os seus determinantes principais forem positivos.
Vamos calcular os determinantes principais:
  1. O primeiro determinante principal é De (positivo).
  2. O segundo determinante principal é:
De
  1. O terceiro determinante principal é o determinante total da matriz Hessiana:
Como todos os determinantes principais são positivos, a matriz Hessiana é definida positiva.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , que é um mínimo local.

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