Estude com relação a máximos e mínimos locais e a pontos de sela a função ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente estudar os máximos, mínimos locais e pontos de sela da função . Para isso, vamos usar o cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais e o teste da derivada segunda. Vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e analisar a matriz Hessiana para determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada variável , e . As derivadas parciais são essenciais porque nos ajudam a identificar onde a inclinação da função é zero, ou seja, os pontos críticos.
Passo 3
Agora, vamos igualar cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e .
Da equação (3):
Agora, vamos resolver as equações (1) e (2) para e :
Pela equação (1):
Pela equação (2):
Agora, podemos resolver o sistema formado por (1a) e (2a). Vamos multiplicar a equação (1a) por 2:
Subtraindo a equação (2a) da (1b):
Substituindo na equação (1a):
Então, os pontos críticos são , e .
Passo 4
Com os pontos críticos encontrados, vamos analisar a natureza desse ponto usando a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função .
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
Assim, a matriz Hessiana é:
Passo 5
Para determinar a natureza do ponto crítico, precisamos verificar se a matriz Hessiana é definida positiva, definida negativa ou indefinida. Uma matriz Hessiana é definida positiva se todos os seus determinantes principais forem positivos.
Vamos calcular os determinantes principais:
O primeiro determinante principal é De (positivo).
O segundo determinante principal é:
De
O terceiro determinante principal é o determinante total da matriz Hessiana:
Como todos os determinantes principais são positivos, a matriz Hessiana é definida positiva.
Resposta
A função tem um ponto crítico em , que é um mínimo local.